遅延を含むステップ関数のラプラス変換

質問

ステップ関数
u(t) = 1 (t >= 0) , 0 (t < 0)
について、

f(t) = (t - T) * u(t - T) （Tは定数）のラプラス変換を解きたいのですが、ご教授お願いします。

x:=t - Tとおくと
dx = dt, t = x + T, 積分範囲は[-T→∞]となり

F(s) = ∫[0→∞] (t-T) * u(t-T) * exp(-st)dt
　　　= exp(-sT)∫[-T→∞] x * u(x) * exp(-sx)dx

となるところまでは分かるのですが、Tの符号がわからないため少し困っています。

(i) T > 0 の場合、ステップ関数で x < 0の部分が削られて積分範囲が[0→∞]となり、1次関数とステップ関数の積のラプラス変換からすぐに分かりますが、

(ii) T < 0の場合は[|T|→∞]の積分範囲で計算しなければならなくなってしまいます。

場合分けして手なりでコツコツ計算して答えは出ましたが、それでいいのでしょうか。
それともこういう問題では暗黙的にT>0とみなすものなのでしょうか

よろしくおねがいします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>Tの符号がわからないため少し困っています。
>場合分けして手なりでコツコツ計算して答えは出ましたが、それでいいのでしょうか。
>それともこういう問題では暗黙的にT>0とみなすものなのでしょうか

ラプラス変換では、t≧0(t≧+0)の現象を取り扱い
t<0の電圧や電流は、t≧0の回路からはt<0に遡ることは出来ないので、t≧0の回路の現象は、t＜0では回路の電圧や電流は零として扱い、t<0(過去)の回路での電圧や電流は、電圧や電流のt=+0における初期値として導入して、過去の影響を取り扱います。
過去の回路の影響はt≧0の回路中のL（相互インダクタンスMを含む）やCの電流や電圧の初期値として取り込まれます。

従って、u(t - T) （Tは定数）は過去の時間に遡れないので
T≧0でないといけません。
T<0は考慮すること自体ラプラス変換や過渡現象(t≧0）の本質を知らないことから、誤った考え方をするのです。t≧0の過渡現象を考えている時に、t≧0の回路と異なるかも知れない、過去の回路の電流や電圧は扱うこと自体無理があるということです。

TはT≧0でなければならない。T<0は考える必要は全くない（考えてはいけない）。ということです。

お礼

なるほど。
おっしゃる通り、私はラプラス変換はただの変換公式としてしか解釈していませんでした。
明日、大学図書館に赴いて参考書をあさってちゃんと理解してみようと思います。

ありがとうございました。