２重積分の「置換積分」？

質問

I = ∬exp(x+y)dxdy ; 積分領域{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}

という２重積分を、

　t(x,y) = x+y

と置き替え

　∂t/∂y = 1
　0≦y≦1 ⇒ x≦t≦x+1

と思い

　J(x) = ∫exp(t)dt ; 積分区間{t|x≦t≦x+1}
　= {exp(1)-1}exp(x)

　I = ∫J(x)dx ; 積分区間{x|0≦x≦1}
　= {exp(1)-1}^2

のように定積分の置換積分の手法を用いて解いたら一応答えと合っていました。しかし、私としては、

　∂t/∂y = 1 ⇒ dt = dy

のように考えている辺りがなんとなく間違っているような気がするのです。この問題だから偶然に答えが合っていたのでしょうか？もしくは、流れは正しくても、断りをもっと立てないといけないのでしょうか？

パソコンでの数式の書き方に慣れていませんので、どうも見えにくくて申し訳ありませんが、ご教授のほどよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

多変数の積分の変数変換は公式があります。
dxdy=∂(x,y)/∂(u,v)dudv
今回の場合、x=x,t=t(x,y)の変換ですから
x=x,y=y(t,x)となり
dxdy=∂(x,y)/∂(x,t)dxdt
∂x/∂x=1,∂x/∂t=0となり
∂(x,y)/∂(x,t)=∂x/∂x・∂y/∂t-∂x/∂t・∂y/∂x
=∂y/∂t
すなわち、dxdy=∂y/∂tdxdt
となって、結果はたまたまあっているのです（導出方法が間違い）。

お礼

お返事遅くなりました。

∂(x,y)/∂(x,t)=∂x/∂x・∂y/∂t-∂x/∂t・∂y/∂x
というのはヤコビアンを求めているのですよね？変数変換として、endlessriver様の仰るとおりに何度か解いて見たのですが、行列式の立て方はわかっても、積分領域がどうなるのかわからず、一回も正解にたどり着けづにいます。

差し支えなければ積分領域をどうすれば良いのか、重ねてご教授いただけませんでしょうか。

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

endlessriver

この場合、積分領域はx-tの座標を書いて、あるxのときのtの領域はあなたの指摘のように0≦y≦1 ⇒ x≦t≦x+1ですから、t軸に平行にx≦t≦x+1の線を引きます。この線を0≦x≦1まで重ねて書いてx-t座標での値域を得ました。
傾き４５゜の平行四辺形です。

お礼

もう答えは得ていたのですね（汗
重ねてのご回答ありがとうございました。

回答No.1

Deerhunter

解法のチェックではないのですが、

　∂t/∂y = 1 ⇒ dt = dy　がなんとなく腑に落ちない件について少し

まず偏微分記号が普通の微分記号になるというのはよいでしょうか？これは１変数と考えるからということで。

次に微分の　∂t、∂y　はそれぞれもともと微小の変化を表しているのですから、ｔの微小変化とｙの微小変化の大きさの比が１であると考えれば、　∂t/∂y = 1 ⇒ dt = dy　は当然成り立つということになると思います。

実は私も昔は同じ疑問を持っていたのですが、∂やｄを単なる微分の記号と考えてしまうとなかなか理解できません。∂ｘ、ｄｘ　などでｘのある微小の大きさを表すと考えたほうが良いでしょう。

この辺、微分方程式などを解くと結構出てくるのでそのうち慣れてきますよ。

お礼

お返事遅くなりました。

う～ん・・・
いつでも∂f＝dfと成り立つんですかね？
微小な区間での変化というもののイメージがよくつかめなくて、さっぱりわかりません＾＾；

ご回答ありがとうございました。