広義指数積分

質問

略儀で失礼します。
∫exp(x^2)dx
積分区間(－∞、Z]
の広義積分をしたいのですが解析的厳密解はもとまりますでしょうか。
もし不可能なら近似解でも宜しいので
御教授下されば幸甚です。

回答No.2

oyaoya65

#1です。
>－をつけるのを忘れました。

積分は誤差関数erff(x)を使って
I=∫(-∞,z] exp(-x^2)dx={(√π)/2}{1+erf(z)}
となります。

誤差関数を使わない表現法として
exp(-x^2)をx=0の周りのTaylor展開を利用して無限級数展開したものを積分して
I={(√π)/2}+z-(1/3)z^3+(1/5)(1/2!)(z^5)-(1/7)(1/3!)(z^7)+(1/9)(1/4!)(z^9)
-(1/11)(1/5!)(z^11)+(1/13)(1/6!)(z^13)-(1/15)(1/7!)(z^15)+O(z^16)
と表すことができます。

|z|がある程度大きくなって、収束性が悪くなれば、x≒zの付近でexp(-x^2)をTaylor展開して、その無限級数を積分して、有限項で打ち切って
近似式とすれば良いでしょう。

exp(-x^2)型関数を積分するガウス型積分は収束しますので数値積分は常に可能です。
しかし、積分結果を、初等関数のみでは表せません。
積分形式で定義される特殊関数の誤差関数erf(x)を使ったり、無限級数形式で積分結果を表現できます。

ガウス積分や誤差関数については、理工学または数理系、数学系の微積分ハンドブックなどに一般的なことは載っていると思います。
より詳しいことは、
数式処理ソフトのマニュアルや数式処理ソフト会社(Mathematica(Wolfram),Maple,Matlab,Maxima)から出版されている書籍などに比較的詳しく載っているか思います。
（オンラインマニュアルなどになっていたりします。）
Wikipediaのサイトにも結構詳しく載っているかと思います。
さらに、より詳しいことを知りたければ、関連論文や専門書、英語サイトなどを検索したりすると、欧米の大学の公開データベースなどの中に関連ドキュメントが見つかるかと思います。

回答No.1

info22

x→∞でexp(x^2)→∞でexp(x^2)で発散する関数なので
∫(－∞、Z] exp(x^2)dx
は明らかに発散すると思います。

exp(x^2)はexp(-x^2)のミスではないですか？