統計解析の問題(分散など)

質問

X1～Xnを母平均μと母分散σ^2の同一母集団から無作為に抽出されるn個の確率変数とする。
標本平均{Xn}(アッパーバーを表記できないので代わりに)と分散推定量Un^2をそれぞれ

{Xn}=(1/n)*Σ(Xi)[i=1～n]
Un^2=(1/(n-1))*Σ(Xi-{Xn})^2

とする。
このときXi(i=1～n)の確率密度関数が

f(x;μ)=(1/μ)*exp(-x/μ)(x＞0)
0(x≦0)

のとき、V[{Xn}]を求めよ。(ただし、母分散σ^2はμで表すこと)
また、{Xn}が母平均μの有効推定量であることを示せ。

という問題について、この場合、E[Xi](期待値)=μ、E[Xi^2]=σ^2+μ^2ということは分かったのですが、
σ^2をμで表す過程で躓いています。
MXi(t)=∫e^tx*(1/μ)*exp(-x/μ)dx(積分範囲-∞～0)＋∫e^tx*0dx(積分範囲0～∞)
を計算するところで止まっています。
∫e^tx*(1/μ)*exp(-x/μ)dx(積分範囲-∞～0)をうまいこと計算するにはどうしたらいいでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

指数法則を使って、
exp をひとつにまとめたらいい。

お礼

計算が間違ってることに自分で気づきました。x=-∞の時はe^((tμ-1)x/μ)=0ですね……

補足

e^tx*e(-x/μ)=e^((tμ-1)x/μ)
これを積分すると(μ/(tμ-1))*e^((tμ-1)x/μ)となり、
積分範囲が-∞～0なので、
x=-∞のときe^((tμ-1)x/μ)=e^0=1
x=0のとき同じくe^0=1
となり、積分が0となってしまいました。

となるとE[Xi^2]=MXi'(0)=0となり、E[Xi^2]=σ^2+μ^2に反してしまいます。

この積分は何か独特な計算の仕方があるのでしょうか？
それとも私の計算が間違ってるだけでしょうか？