解析の問題です。早めの回答希望です。

質問

解析の問題です。
ｆ（ｘ）は[0,∞）上の有界なルベーグ可測関数とする。(0,∞)の関数を
F(t)＝∫exp(-xt)・f(x)dx (積分範囲は太字のＲとする)
と定義するとき次を示せ。

(1)勝手なｒ＞0をとるとｓ∈[r,0)でF(t)は連続であることを示せ。従って、F(t)は(0,∞)において連続であることを示せ。
(2)勝手なｒ＞0をとるとF(t)は[r,∞)において無限回微分可能であり
｛F(t)をｔでｍ回微分したもの｝＝∫｛(-x)^m｝｛exp(-xt)｝f(x)dx (積分範囲は０から∞)
が成り立つことを示せ。

回答No.2

grothendieck

(1)について
ｆ(x)は[0,∞）上の有界なルベーグ可測関数でt>0のとき
F(t)＝∫exp(-xt)・f(x)dx (積分範囲は０から∞)
は定義されることを言わなければなりませんが、そのあたりは自分でお願いします。ラプラス変換の数学的な理論は
　D.V.Widder,"The Laplace Transform",(Princeton)
(2)はこの本のp.57,Theorem5aです。

回答No.1

grothendieck

このサイトにはノーベル賞受賞者を無知呼ばわりするという大変な権威とか、素人には逆の意味にしか読み取れないような深い含蓄を垂れる「専門家」とかがいらっしゃいますが、こんな簡単な質問にはあほらしくて回答してられないそうですから非常に不十分ですが私が回答しましょう。
(1)｜f(x)｜の上界をMとする。
　｜F(t+ε) - F(t)｜ = ｜∫{exp(-x(t+ε)-exp(-xt)} f(x)dx｜
　≦∫｜{exp(-x(t+ε)-exp(-xt)} f(x)｜dx
　≦M∫｜{exp(-x(t+ε)-exp(-xt)}｜dx = M(1/t - 1/(t+ε))
よってt>0のときF(t)は連続
(2)zを複素数として
F(z)＝∫exp(-xz)f(x)dx
とすると積分記号の下での微分に関する定理からF(z)はRe(z)>0 のとき正則