特異積分の極の位置

質問

特異積分∫[-∞.∞]1/(1+x^4)dxがあり、
f(z)=1/(1+z^4)とおくと、単純極がz=exp(±πi/4)、z=exp(±3πi/4)となるのが何故か分かりません…
1+z^4を因数分解してみたら、z^2=±iとなり、z=±√(±i)となるのですが、
これからどうやってz=exp(±πi/4)、z=exp(±3πi/4)となるのでしょうか？

また、∫[-∞.∞]x^3/(1+x^8)dxの極が分かりません。
1+z^8の因数分解をしても、どうやって指数関数に置き換えればいいのか…

どうかご教授お願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

＞z=exp(±πi/4)、z=exp(±3πi/4)となるのでしょうか？

極は分母：1+z^4=0の解で
z^4=-1
ですからzは-1の４乗根です。
４次方程式ですから４つの解が存在し、
-1の４乗根は単位円を描けば
z^4=-1=exp(i(π±2nπ))
ですから
z=exp(i(π±2nπ)/4)
n=0,-1,1,-2と代入すれば
＞z=exp(±πi/4)、z=exp(±3πi/4)
となることは明らかです。
なお、i=exp(i(π/2±2nπ)),-i=exp(i(π/2±2nπ))
である事をお忘れなく！

1+z^8=0の解は
z^8=-1の解ですから
-1の８乗根で８つの解があり単位円を使えば
z^8=-1=exp(i(π±2nπ))ですから
z=exp(i(π±2nπ)/8)です。
nを0,-1,1,-2,2,-3,3,-4と代入していけば
z=exp(±πi/8),exp(±3πi/8),exp(±5πi/8),exp(±7πi/8)
が出てきます。

お礼

詳しい解答ありがとうございました。

回答No.2

noname#57316

1+z^4 ＝ 0　より　z^4 ＝ -1
複素平面上、1の点は、 exp^(i・2nπ) の位置にあり、-1 は、1 の点を 180度回転させた
位置にあるので、exp^(i・π) を乗じて、-1＝ exp^{i・(2n+1)π} と置けます。
従って、
z^4 ＝ exp^{i・(2n+1)π}
z ＝ exp^{i・(2n+1)π/4}　( n ＝ 0,1,2,3 で代表させます)　となります。
∴　z ＝ exp^(i・π/4)、exp^(i・3π/4)、exp^(i・5π/4)、exp^(i・7π/4)
exp^(i・7π/4) ＝ exp^(-i・π/4)、
exp^(i・5π/4) ＝ exp^(-i・3π/4)　なので
z ＝ exp^{±i・π/4}、　z ＝ exp^{±3i・π/4} となります。

1+z^8 の場合も同じ要領で指数函数に置き換えられます。

お礼

詳しい解答ありがとうございました。