FFT解析について

質問

FFT解析について不明な点があります。
例えばf(t)=2sinωt
という時間関数があったとします。

　これをFFT解析してF(ω)－ωグラフにしたとします。この時、ω＝ωに対してのみF(ω)という出力が得られると思うのですが、この時F(ω)はf(t)=2sinωtの振幅の2になるのでしょうか？
　フーリエ変換の式では、e^(-jωt)とf(t)を積分した値が、F(ω)になるので感覚的に考えても違うのかな
と思っているのですが。

回答No.1

uyama33

Ｎ個の複素データ　f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)
に対して、
　Ｎ個の複素データ　F(0),F(1),F(2),…,F(N-1)
を次の様にして対応させるものです。
　　　　　　　 N-1
　　　　F(n)＝ Σ f(k)exp(-i2πnk/N) (n=0,1,2,…,N-1)
　　　　　　　 k=0
　この計算を実行するにはかなり時間がかかります。もし、Ｎが２の巾乗の形ならば、特別な工夫によって効率的に計算できます。この特別な場合のＤＦＴを、
ＦＦＴとよびます。
　ＤＦＴの意味について考えるには、連続的なデータに近い場合を考えると分りやすいでしょう。
1024個の数値
sin(2πk/1024)　　　　　　（k=0,1,2,…,1023）
に対するＦＦＴの結果を調べてみましょう。
　N=1024 として計算すれば、
　　　　N-1
　F(n)＝Σsin(2πk/N)exp(-i2πnk/N)
　　　　k=0
　　　 　N-1
＝(N/(2π))Σ [(2π/N)sin(2πk/N){cos(2πkn/N) - i・sin(2πkn/N)}]
　　　 　k=0
を計算しますが、n＜＜N の場合には積分で近似できて、
　　　　　　　　　　2π　　　　　　　　　　2π
F(n)＝(N/(2π)){ sin x cos nx dx － i sin x sin nx dx}
　　　　　　　　　　0　　　　　　　　　　0
となり、三角関数の直交性に注意して F(1) を計算すれば、
　　　　　　　　　　2π　　　　　　　　　　2π
F(1)＝(N/(2π)){ sin x cos x dx － i　sin x sin x dx}
　　　　　　　　　　0　　　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　2π　　　　　　　　
F(1)＝－(1024/(2π) i　sin x sin x dx}
　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　2π１－cos 2x　　　　　　　　
F(1)＝－(1024/(2π) i　・・・・・・ dx
　　　　　　　　　　　　0　　２　　　　　　
　　　＝－512 i
となります。
　最初の数列が関数ｆ(x)のサンプリングされたＮ個の値からなるとしましょう。
このｆ(x)が周期関数で有限和のフーリエ級数で表現できて、
　　　　　　　　　t
　　f(x)＝(1/2)a0+Σ{amcos(x2πm/N) + bmsin(x2πm/N)}
　　　　　　　　　m=1
だとします。
　n＜t＜＜N の場合には、
　　　　　　　　　　　t
　　　　f(x)＝(1/2)a0+Σ(amcos(x2πm/N) + bmsin(x2πm/N))
　　　　　　　　　　　m=1
に対する FFT の結果については積分になおして、三角関数の直交性を使えば、
　　　　　　　 N-1
　　　　F(n)＝ Σ f(k)exp(-i2πnk/N) (n=0,1,2,…,N-1)
　　　　　　　 k=0
　　 N-1　　　　 t
　＝ Σ {(1/2)a0+Σ(amcos(k2πm/N) + bmsin(k2πm/N))}exp(-i2πnk/N)
　　 k=0　　　　 m=1
　　 N-1　　　　
　＝ Σ {ancos(k2πn/N)cos(k2πn/N) － i bnsin(k2πn/N))sin(k2πn/N))}
　　 k=0　　　　
　　 N-1　　　　
　＝(N/(2π))Σ ancos(k2πn/N)cos(k2πn/N)(2π/N)
　　　　　　 k=0
　　　　　　　　N-1
　　－i(N/(2π))Σ bnsin(k2πn/N))sin(k2πn/N))(2π/N)
　　 k=0　　　　
　　 　　2π　　
　＝(N/(2π))an cos(nx)cos(nx)dx
　　　　　　　　 0
　　　　　　　　 　 2π
　　－i(N/(2π))bn　sin(nx)sin(nx)dx
　　 　 0　　
＝(N/2)(an - i bn)　
となるので、実部が cos波、虚部が sin波の存在を示し、しかもその係数の(N/2)倍になっていることが分ります。