解き方を教えてください

質問

お世話になります。高校数学の問題が５問わからないので、考えたところまで載せます。
補足、解説していただければと思います。出題ミスの可能性もありますので、よろしくお願いします。

(1)「x^3の係数が1の3次式P(x)は(x-1)^2で割ると2x+3余り、x-2で割ると4余るという。このとき、P(x)を求めよ。」
（考えたこと）P(x)=x^3+ax^2+bx+cとおける。P(x)を実際に(x-1)^2で割ると、余りは(2a+b+1)x+(c-a-2)となるから、係数を比較して、(2a+b+1)=2・・(1),c-a-2=3・・(2)
,また、x-2で割ると4余るから、P(2)=8+4a+2b+c=4,整理して、4a+2b+c=-4・・(3)
(1)～(3)を解くと、a=-11,b=23,c=-6,よってP(x)=x^3-11x^2+23x-6になったのですが、検算すると違うような気がします。

(2)「xの整式f(x)をx-2,x+3で割った余りがそれぞれ1,11のとき、f(x)をx^2-5x+6で割った余りを求めよ。」
（考えたこと）f(x)をx^2-5x+6で割った商をQ(x),余りをax+bとすると、f(x)=(x^2-5x+6)Q(x)+ax+bと表せる。f(x)をx-2,x+3で割った余りがそれぞれ1,11だから、f(2)=2a+b=1,f(3)=???ここからわかりません。

(3)「log[2]3x-log[x]27=1
（考えたこと）底を2にそろえると思うのですが、やり方がわかりません。

(4)「8(log[16]x)^2+7log[16]x -1<0
（考えたこと）まず真数条件より、x>0。log[16]x=tとすると与式は8t^2+7t-1<0となり、これを解くと、-1<t<1/8。ここからどうするかわかりません。

(5)「次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
1/2^2-1,1/4^2-1,1/6^2-1,1/8^2-1,,,,,
（考えたこと）第k項は1/(2k)^2 -1とおける。このあとどうするかわかりません。

回答No.5

kumipapa

（２）について
出題ミスなのか、それとも出題者に特別な意図があるのか・・・。いずれにせよ、答えは一意ではないようです。気になるのは、f(x)をわざわざ「整式」であると条件を付けているところですね。そこで、ちょっと「整式」にこだわってみましょう。
f(x)をx^2-5x+6で割った余りを求めよということですから、
f(x) = (x^2-5x+6) Q(x) + ax + b
とおきましょう。
ここで、f(x)は整式ですから、それを(x^2-5x+6) で割った商 Q(x)も整式です（x^2-5x+6のx^2の係数が1なので）。そして、ax + bも整式、つまり、a,bは整数です。
条件より、f(2)=1, f(-3)=11 ですから、
(1) f(2) = 2a + b = 1
(2) f(-3) = 30Q(-3) - 3a + b = 11
(2)から(1)を引いて、
30Q(-3) - 5a = 10
a = 6Q(-3)-2
です。また、b = 1 - 2a = -12Q(-3) + 5　となります。
結局、任意の整式Q(x)について、
f(x) =(x^2-5x+6) Q(x) + (6Q(-3)-2)x -12Q(-3)+5
とf(x)を定めれば、f(x)は与えられた条件を満足します。
ということで、

f(x)をx^2-5x+6で割った余りは(6n-2)x -12n+5 （nは整数）

となります。先述したように、n は任意の整式Q(x)のQ(-3)ですから、nに特別な制約はありません。
こんなので、解答になるんでしょうか？？？
考え落としている事があるかも知れません。

お礼

普通の進学校の２年が使う課題なので、普通に解けなければ、出題ミスだと思います。
いずれにせよ、深い考察をありがとうございました。

回答No.4

akira47

(2n)^2-1=(2n+1)(2n-1)を利用する。
1/((2n)^2-1)=(1/2)*((1/(2n-1))-(1/(2n+1)))となります。
1/(2^2-1)=(1/2)*(1-(1/3))
1/(4^2-1)=(1/2)*((1/3)-(1/5))
1/(6^2-1)=(1/2)*((1/5)-(1/7))
　　　：
　　　：
1/((2n-2)^2-1)=(1/2)*((1/(2n-3))-1/(2n-1))
1/((2n)^2-1)=(1/2)*((1/(2n-1))-1/(2n+1))
此を上から下まで足すと、右辺が整理されます。

補足の上から８段目のlogどうしの分数の前の３はどこへ行ったのですか?

お礼

解決しました。

補足

回答ありがとうございます。
数列はおかげさまで解決しました。

＞補足の上から８段目のlogどうしの分数の前の３はどこへ行ったのですか?

すみません、完全に見落としてました。
３はあります。ただ、それだと全く解き方がわかりません。
お手数ですが解法を示していただけませんでしょうか。

回答No.3

akira47

(1)P(x)は３次でx^3の係数は１より
P(x)=(x-1)^2*(x-a)+2x+3とおけます。
(2)x-2,x-3で割るのではないですか?
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)です。
(3)底を使用して、分数に直せます。
与式はあっていますか。
(4)tをlogに戻して、-1と1/8として計算します。
(5)n^2-1=(n-1)(n+1)を利用します。
1/(n^2-1)=1/(n-1)(n+1)を部分分数に直します。
1/((n-1)(n+1))=(1/2)*(1/(n-1)-1/(n+1))を使用します。

お礼

ありがとうございました、解決しました。

補足

回答ありがとうございます。
(1)は解決しました。
(2)はやはり問題が間違っていますよね？
(3)は問題はあっています。
いま適当にやってみた結果こうなりましたが、いかがでしょうか。↓
log[2]3x-log[x]27=1
log[2]3x=1+log[x]27
log[2]3+log[2]x=1+3log[2]3/log[2]x
ここで、log[2]3=a,log[2]x=Xとすると、
a+X=1+(a/X)
aX+X^2=X+a
X^2+(a-1)X-a=0
(X+a)(X-1)=0
X=1,-a
log[2]x=1,-log[2]3
よってx=2,1/3
(4)はlog[16]x=-1より、x=1/16
log[16]x=1/8より、x=√2
よって、1/16<x<√2
(5)は全くわからないので、解答を作っていただけませんでしょうか、お願いします。

回答No.2

abyss-sym

(1)(2a+b+1)x+(c-a-2)の部分が計算ミスしてます。
(2a+b+3)x+(c-a-2)になるはずです。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに計算ミスでした（汗）
a=-7,b=13,c=-2で検算しましたが、どうやら正解のようです。
他の問題はいかがでしょうか、よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_

もうちょっと粘ればできそうです。がんばってネ。

補足

回答ありがとうございます。
ただ、粘り方がわからないんですが・・・