やさしい数学II

質問

（１）整式Ｐ（x）をx＋１で割ったときの余りは－８、x－２で割ったときの余りは７である。
　　　P（x）を（x＋１）（x－２）で割ったときの余りを答えよ
（２）整式x^３＋４x^２＋ax＋bを整式x^２－x－６で割った余りが７x＋３３のとき
　　　－２a＋bとa＋bを答えよ
　　　また上記のことが成り立つから、a、bの値も求めよ
（３）次の式がxについて恒等式になるように、定数a、b、cの値を定めよ
　　　（x＋a）（２x＋１）＝bx^２＋５x＋c－a
（４）kがすべての実数値をとるとき、つねにこの等式が成り立つようにx、yの値を定めよ
　　　（２k－１）x＋（k－１）y－k＋３＝０

回答No.1

puusannya · ベストアンサー

（１）整式Ｐ（x）をx＋１で割ったときの余りは－８より　Ｐ（－１）＝－８
　　　　　　　　　　x－２で割ったときの余りは７より　Ｐ（２）＝７
P（x）を（x＋１）（x－２）で割ったときの商をＱ（ｘ），余りをａｘ＋ｂとする。
すなわち　Ｐ（ｘ）＝（x＋１）（x－２）Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ
より　Ｐ（ー１）＝ーａ＋ｂ＝－８
　　　Ｐ（２）＝２ａ＋ｂ＝７
この２式から　ａ＝５，ｂ＝－３
だから　P（x）を（x＋１）（x－２）で割ったときの余りは　５ｘ－３

（２）x^３＋４x^２＋ax＋bを整式x^２－x－６で割った商をＱ（ｘ）とすると
x^３＋４x^２＋ax＋b＝（x^２－x－６）Ｑ（ｘ）＋７ｘ＋３３　
　　　　　　　　　　＝（ｘ＋２）（ｘ－３）Ｑ（ｘ）＋７ｘ＋３３
ｘ＝－２を代入　－８＋１６－２ａ＋ｂ＝－１４＋３３
　　　　　　　　　　　　　－２ａ＋ｂ＝１１・・・(1)
ｘ＝３を代入　　２７＋３６＋３ａ＋ｂ＝２１＋３３
　　　　　　　　　　　　　３ａ＋ｂ＝－９・・・(2)
(1)(2)より　ａ＝－４，ｂ＝３　　これらより　ａ＋ｂ＝－１

（問題の形からはａ＋ｂを先に求めてからａ，ｂを求めるようですが、その流れにはできませんでした。）

（３）カッコを解いてｘについて降ベキ順に整理する
２ｘ＾２＋（２ａ＋１）ｘ＋ａ＝ｂｘ＾２＋５ｘ＋ｃ－ａ
恒等式なので各次数の係数が等しいから、
２＝ｂ、２ａ＋１＝５，ａ＝ｃ－ａ
よりこれらより　ａ＝２，ｂ＝２，ｃ＝４

（４）ｋについて整理をする。
ｋ（２ｘ＋ｙ－１）－（ｘ＋ｙ－３）＝０
この式が、ｋの値にかかわらず成り立つので（ｋがどんな数でも＝０になるｘ、ｙを見つける。）
２ｘ＋ｙ－１＝０
ｘ＋ｙ－３＝０

これらから　ｘ＝－２、ｙ＝５

お礼

トンクス

これでなんとかなりそうです//