整数問題？

質問

a,bを実数とし、f(x)＝x^2+ax+b とおく。
（1）２次方程式f(x)＝0の2つの解が、p±qi（p,qは実数　iは虚数単位）とかけて、
　　　　　　q≦－√3（p-c）かつ q≧√3（p-c)（cは定数）
　　 を満たすとき、a,bの満たすべき条件を求めよ。

（2）a,bが（1）の条件を満たしながら動くとき、f(1)の最小値を求めよ。

正答を渡されていないので、答えはないです。どう考えればいいのか分からないので、よろしくお願いします。

回答No.1

take_5

（1）解と係数の関係から、（p＋qi）＋（p-qi）＝-a、（p＋qi）*（p-qi）＝p＾2＋q＾2＝bであるから、p＝-a/2‥‥(1)、q＾2＝b-p＾2＝b-a＾2/4‥‥(2).
条件：q≦－√3（p-c）かつ q≧√3（p-c)より｜q｜≧√3｜p-c｜であるから、両辺を2して、q＾2≧3（p-c）＾2‥‥(3).
(3)に(1)と(2)を代入するとb≧a＾2＋3ac＋3c＾2.‥‥(4).
又、方程式が2つの虚数解をもつから、判別式＜0.つまり、4b＞a＾2.‥‥(5).(4)と(5)の位置関係は(4)が(5)の上にある。
以上から、b≧a＾2＋3ac＋3c＾2が求める答え。

（2）f(1)＝1＋a＋b＝kより、ab平面上でb≧a＾2＋3ac＋3c＾2の条件の下で、直線：b＝-a＋（k-1）‥‥(6)のb軸との切片：k-1の最小値を考えると良い。それは、(6)が(4)に接するとき。

実際の計算は、自分でね。

お礼

自分で計算をしてみましたら、それらしき答えが出ました。助かりました。ありがとうございます。