数学参考書問題の解き方解説について

質問

数学の参考書の演習問題とその解き方解説の一部について、分からない箇所があります。
ご教示頂ければ幸いです。

＝(1)＝＝＝
・問題
整式P(x)を(x+1)(x-3)で割ると余りが3x＋1となり、(x-1)(x+3)で割ると余りが-x＋11となる。
P(x)を(x＋1)(x－1)で割った時の余りを求めよ。

・解き方
P(x)を(x+1)(x-1)で割った余りは１次以下の多項式または０であるから、Q(x)を多項式として
P(x)＝(x+1)(x-1)Q(x)＋ax＋b　＿(1)　　　←？？？疑問箇所
とおける。
（以下略）
この式に(x+1)(x-3)で割ると余りが3x＋1なので(1)にx＝－１を代入、
(x-1)(x+3)で割ると余りが-x＋11Pなので(1)にx＝１を代入するなどをして、
a=6，b=4　の答えは　６x＋４　となっています。
＝＝＝＝＝

何故『P(x)＝(x+1)(x-1)Q(x)＋ax＋b』とおけるのでしょうか？
ax＋bにも(x+1)(x-1)を掛けないといけないのではと思うのですが。
また、仮におけるとした場合、そのまま単純に「ax＋b」に「3x＋1」や「-x＋11」を代入して良いのでしょうか？

＝(2)＝＝＝
・問題
ある３次関数f(x)=x^3＋px^2＋pxがあり、曲線y＝f（x）の接線が、接点P（a，f（a））と、P以外の点Qで、曲線y＝f（x）のグラフと交わっている。このとき点Qのx座標をaとpで表せ。

・解き方
f’（x）＝３x＾3＋２px＋q　であるから、点P（a，f(a)）における接戦の方程式は
y－（a＾3＋pa＾2＋qa）＝（３a＾2＋２pa＋q）（x－a）
整理して、y＝（３a＾2＋２pa＋q）x－２a＾3－pa＾2

この接線とy＝f（x）との交点を求める。
x^3＋px^2＋qx　＝　（３a＾2＋２pa＋q）x－２a＾3－pa＾2　として整理すると、
x^3＋px^2－（３a＾2＋２pa）x＋２a＾3＋pa＾2＝０
左辺は（x－a）＾2で割れるはずだから、割って整理すると　　　←？？？疑問箇所
（x－a）＾2（x＋２a＋p）＝０
これを解いてx＝a，－２a－p
求めるx座標は、－２a－p
＝＝＝＝＝

『左辺は（x－a）＾2で割れるはずだから』とありますが、何故でしょうか？

回答No.3

masssyu · ベストアンサー

長文になりますがよろしくお願いします。

（１）疑問箇所ですが、根本的に別の考え方をしましょう。
　　　大雑把にいうと「ax+b」は「ax^2+bx+c」「a」でも、何度もいいのです。

　　　解答では、一番適切な「ax+b」が書いてあるだけです。

　　　部分的に書くと、わかりづらくなると思うので、すべて解法を書きます。
　　　たぶん模範解答とは違うと思います。

　　　解）p(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b .....(1)
　　　　　　　 =(x+1)(x-3)Q'(x)+3x+1 .....(2)
=(x-1)(x+3)Q"(x)-x+11 .....(3)　とおくと、
　　　　　これは、連立方程式または恒等式だと思ってください。
　　　　　そうすると、
　　　　　(1)＝(2)より
　　　　　(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b=(x+1)(x-3)Q'(x)+3x+1
ここからは、方程式のように「Q」が入った積をともに「０」にするために
　　　　　「x=-1」を代入します。
　　　　　整理すると、-a+b=-2 .....(4)
　　　　　また、(1)＝(3)より
　　　　　(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b=(x-1)(x+3)Q"(x)-x+11
　　　　　先ほどと同じように、「x=1」を代入して整理します。
　　　　　そうすると　a+b=10 .....(5)
　　　　　(4)と(5)より　a=6 b=4 となります。

　　　　　最後の疑問に答えると、「ax+b」はあくまで余りなので、５÷２＝２....1
のように、余り「１」には、２は掛けませんよね。

　　　　　また、置けたと仮定すると、その条件として
　　　　　(x+1)(x-1)Q(x)=(x+1)(x-3)Q'(x)=(x-1)(x+3)Q"(x)
　　　　　を満たす必要があります。

（２）わかりづらいですが、
　　　f(x)と接線との交点は２つとあるので、
　　　たとえ３次式でも解は２つです。
　　　放物線との交点が１つの場合、交点を求める方程式は重解をもちます。
　　　この問題でも同じで、曲線といっても、一部分だけを取り出せば、曲線になります。
　　　そのため、重解である(x-a)^2　で割ることができます。

　　　わからないことがあったら、言ってください。

お礼

回答をありがとうございます。
解法がとてもわかりやすく、理解することが出来ました。

特に、（１）ではQ(x)、Q'(x)、Q"(x)と分けて書いて頂けたところ、
（２）では「放物線との交点が１つの場合、交点を求める方程式は重解をもつ」、
また「曲線といっても、一部分だけを取り出せば、曲線になる」というご解説が
非常に親切で分かりやすかったです。

（１）では、例として　５/２＝２＋0.5　という考え方をしているなら、５＝４＋１　のようになるのではないかと根本的に解き方を間違えており、
また（２）では接線と交点の違いについて考えが足りていませんでした。

とても助かりました、ありがとうございます。

回答No.2

mister_moonlight

＞『左辺は（x－a）＾2で割れるはずだから』とありますが、何故でしょうか？

接点が、P（a，f（a））なんだから、x＝aという重解を持つ。
“割る”という表現に抵抗があれば、x＝aという重解を持つ事を知ってて因数分解をしただけの事だよ。

お礼

回答をありがとうございます。
「接点が、P（a，f（a））なんだから」という点がシンプルでとてもわかりやすかったです。
masssyuさんの解説と合わせることによって理解することが出来ました。
ありがとうございます。

回答No.1

sanori

こんにちは。

まったく違う質問は、別々に投稿すべきだと思いますので、（１）だけお答えします。

＞＞＞何故『P(x)＝(x+1)(x-1)Q(x)＋ax＋b』とおけるのでしょうか？

P(x)を(x+1)(x-1)で割るということは、Ｐ（ｘ）を２次式で割っていることになります。
２次式で割った答えのあまりが、もしも２次以上の式だとしたら、そのあまりは、まだ２次式で割り算できることになりますから矛盾します。
ですから、あまりは一次以下の式になります。
つまり、あまりを　ａｘ＋ｂ　と置けます。

＞＞＞ax＋bにも(x+1)(x-1)を掛けないといけないのではと思うのですが。

もしも　ａｘ＋ｂ　に　（ｘ＋１）（ｘ－１）　がかかっているとすると、
（ｘ＋１）（ｘ－１）で割り切れて、あまりがなくなります。

＞＞＞また、仮におけるとした場合、そのまま単純に「ax＋b」に「3x＋1」や「-x＋11」を代入して良いのでしょうか？

だめです。

整式P(x)を(x+1)(x-3)で割ったときの余りが3x＋1
(x-1)(x+3)で割ったときの余りが-x＋11
です。

あなたの考え方で行くと、普通の割り算では
「３１÷４　＝　７　あまり　３
　３１÷５　＝　６　あまり　１
　だから
　３１÷８　のあまりは３か１だ」
と言っているようなものです。

お礼

回答をありがとうございます。
私の見当違いな考えについて一つ一つご説明頂きありがとうございます。

「２次式で割った答えのあまりが、もしも２次以上の式だとしたら、そのあまりは、まだ２次式で割り算できることになりますから矛盾します。」という点についてとても納得しました。
ありがとうございます。

＞＞まったく違う質問は、別々に投稿すべきだと思いますので
以後気を付けます。
確かに回答者様の負担が増えてしまいますね、これでは(;´▽｀A``