数学

質問

問題
実数値a.b.cに大してf(x)=ax^2+bx+cとおく。
このとき次の２つの等式
∫[0,1]f'(x)(px+q)dx= 1/2…(1)
∫[-1,1]f'(x)(px+q)dx=0…(2)
を満たす実数p,qが存在するためのa,b,cの条件とその時のp,qを求めよ。

についてです。
f(x)を微分して、(1)と(2)に代入し、
(4a+3b)p+(6a+6b)q=3…(3)
2ap+3bq=0…(4)
の式が出ました。

この後解答には、
(3)(4)を満たすp,qが存在するための条件は
(4a+3b)•3b-2a•(6a+6b)≠0
→3b^2-4a^2≠0…(答)

となっています。

何故
(4a+3b)•3b-2a•(6a+6b)≠0
となるのかがわかりません。
教えてください

回答No.2

info222_

(4a+3b)p+(6a+6b)q=3…(3)
2ap+3bq=0…(4)

(3)*2a
(4a+3b)2ap+(6a+6b)2aq=6a
(4)より 2ap=-3bq ...(5)
-(4a+3b)3bq+(6a+6b)2aq=6a
q{-3b(4a+3b)+2a(6a+6b)}=6a
q(4a^2-3b^2)=2a ...(6)

(3)*3b
(4a+3b)3bp+(6a+6b)3bq=9b
(4)より 3bq=-2ap ...(7)
(4a+3b)3bp-(6a+6b)2ap=9b
p{(4a+3b)3b-(6a+6b)2a}=9b
p(3b^2-4a^2)=3b ...(8)

(6),(8)より
p,qが存在するための条件は
3b^2-4a^2≠0 ...(9)
このとき
p=3b/(3b^2-4a^2), q=2a/(4a^2-3b^2) ...(10)
と確かにp,qが存在します。

>この後解答には、
>(3)(4)を満たすp,qが存在するための条件は
>(4a+3b)•3b-2a•(6a+6b)≠0 ...(11)
左辺=9b^2-12a^2=3(3b^2-4a^2)≠0
となって次の(答)や(9)と同値です。
> →3b^2-4a^2≠0…(答)

>何故
>(4a+3b)•3b-2a•(6a+6b)≠0
>となるのかがわかりません。
上に書いた通り、この式は(9)の式、すなわち(答)と同値です。

お分かり？

回答No.1

Knotopolog

（４）からの，q=(－2ap)/(3b) を（３）に代入すると，p の分母が (4a+3b)・3b－2a・(6a+6b) となるからです．