f(x)の割り算

質問

f(x)は3次以上の整式であるとする
f(x)を(x-1)^3で割れば余りはax^2+bx+cでありx-2で割れば余りはdであるという
(1) f(x)を(x-1)(x-2)で割ったあまりを求めよ
(2) 特にa=b=c=d=1のときf(x)を(x-1)^3(x-2)で割った余りを求めよ

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax^2+Bx+C
f(x)をx-2で割った余りとAx^2+Bx+Cをx-2で割った余りは同じだから
Ax^2+Bx+C=p(x-2)+ax+bのax+bがd(pはAx^2+Bx+Cを(x-2)で割った商)
よって
Ax^2+Bx+C=p(x-2)+d
これをf(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax^2+Bx+Cに代入して
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+d

ここからが分かりません f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax^2+Bx+Cの(x-1)(x-2)Q(x)の部分が(x-1)^3で割りきれるとは限らないから手が出せません ここから先の解き方を教えてください

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

式の置き方が一部適切ではありません。

(1)
f(x)=(x-1)^3*P(x)+ax^2+bx+c ...(A)
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+e(x-2)+d ...(B)
とおける。

f(1)=a+b+c=-e+d ∴e=d-a-b-c ...(C)
f(x)を(x-1)(x-2)で割った余りは
　e(x-2)+d
=(d-a-b-c)x-2(d-a-b-c)+d
　　=(d-a-b-c)x+2a+2b+2c-d ...(D) ←(1)の答え

(2)　a=b=c=d=1のとき (C)より　e=d-a-b-c=-2 ...(E)
余りは(D)より　e(x-2)+d=-2(x-2)+1=-2x+5 ...(F)
また(A)より
　f(x)=(x-1)^3*P(x)+x^2+x+1 ...(G)
f(x)を(x-1)^3*(x-2)で割った余りは4次なので
余りを(x-1)^3で割った商をhとおくと(G)より
　f(x)=(x-1)^3*(x-2)R(x)+h(x-1)^3+x^2+x+1　...(H)
とおける。
またf(x)を(x-2)で割った余りはd=1なので
　f(x)=(x-2)Q(x)+1　...(I)
とおける。
(G),(H)を比較すると
　P(x)=(x-2)R(x)+h ...(J)
(H),(J)と(I)より
　f(2)=P(2)+7=h+7=1
　∴h=-6 ...(K)
従ってf(x)を(x-1)^3*(x-2)で割った余りは、(H),(K)より
　h(x-1)^3+x^2+x+1=(x^2+x+1)(h(x-1)+1)
　　=(x^2+x+1)(-6x+7)
　　=-6x^3+x^2+x+7 ...(L) ←(2)の答え

お礼

長々とありがとうございました
解き方分かりました

回答No.3

いろは にほへと（@dormitory）

まずは

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bと置くことです。(x-1)(x-2)で割った余りは問題の条件にはありませんから、何かは分からないハズです。
ただ、二次式で割った余りは高々一次ですから、ax+bと置けます。

これでf(x)の大方の目安がついたわけであるから、ここで初めて問題の条件を利用出来ます。

お礼

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax+B
f(x)をx-2で割った余りとAx+Bをx-2で割った余りは同じだから
Ax+B=p(x-2)+CのCがd(pはAx+Bを(x-2)で割った商)
よって
Ax+B=p(x-2)+d
これをf(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax+Bに代入して
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+d

こうですね ありがとうございます

回答No.2

いろは にほへと（@dormitory）

一般に多項式Pを多項式Bで割ったときの余りはBより低い次数の多項式か、定数になります。次数を推測してみてください。

補足

f(x)を(x-1)(x-2)で割れば1次以下
でもf(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+dは正しいですからおかしいですね
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+dの導出がおかしいのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

f(x) を x-1 で割った余りは?

補足

分からないです
f(x)を(x-1)^3で割れば余りはax^2+bx+cというのを利用するのでしょうか？