数学IIBの整式除法の問題

質問

整式F(x)をx－1で割ると5余り、x^2+x+1で割ると-5x+1余る。
F(x)をx^3-1で割るとき、余りを求めよ。

という問題なのですが、これの解答としては、
F(x)をx^3-1で割った商をQ(x)、余りをax^2+bx+cとおくと、
F(x)=(x^3-1)Q(x)+ax^2+bx+c
　　=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+ax^2+bx+c
F(1)=5より　F(1)=a+b+c=5(一）

となっていて、ここまではわかります。しかし、次のところからわからない点があります。
F(x)をx^2+x+1で割ったときの余りが-5x+1より、
ax^2+bx+cをx^2+x+1で割った余りは-5x+1であるから、
ax^2+bx+c=a(x^2+x+1)+(b-a)x+c-a
b-a=-5(二),c-a=1(三)
(一)(二)(三)より、a=3,b=-2,c=4
よって求める余りは 3x^2-2x+4

質問としては、
１．なぜ「F(x)をx^2+x+1で割ったときの余りが-5x+1より、ax^2+bx+cをx^2+x+1で割った余りは-5x+1である」と言えるのか？
２．「ax^2+bx+c=a(x^2+x+1)+(b-a)x+c-a」という式はどうやったら出てくるのか？
以上です。よろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

１．
F(x)=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+ax^2+bx+c　となっているので、
前半の　(x-1)(x^2+x+1)Q(x)　部分は　x^2+x+1 で割り切れますよね。
だから、x^2+x+1 で割ったときの余りは　ax^2+bx+c をx^2+x+1 で割った
ときに出てくると考えるわけです。
数でいえば、例えば　５×３＋４　を３で割ったときの余りは　５×３
は３で割り切れるから考えないで、あまりは４を３で割ったときの１に
なる、という感じですか。

２．
これは、(ax^2+bx+c)÷(x^2+x+1)をすれば、商がa、余りが(b-a)x+c-aと
なるので、「割られる式＝商×割る式＋余り」の形にしたものです。

お礼

良くわかりました。ありがとうございましたm(_ _)m