不思議な等式

質問

だいぶ前に、
∫[0→4](2-√x)dx ＝ ∫[0→4]{(2-√x)^2}dx
というなんとも美しい等式を知りました。

それを元に、最近、自分でせかせか計算して、
∫[a→0](x＋1)dx ＝ ∫[a→0]{(x＋1)^2}dx　　(ただし、a＝-3/2)
というものを見つけましたが、ほかに、
∫[a→b]f(x)dx ＝ ∫[a→b]{(f(x))^2}dx
を満たす{a, b, f(x)}があったら教えてください。

もちろん計算機を使えば無数に見つかると思うので、できればa, bが有理数のものを教えてください。

回答No.2

ryn · ベストアンサー

少し別のアプローチからやってみました．
　　∫[a→b]f(x)dx = ∫[a→b]{(f(x))^2}dx
　⇔∫[a→b]{(f(x))^2}dx - ∫[a→b]f(x)dx = 0
　⇔∫[a→b]{(f(x))^2 - f(x)}dx = 0
となるので，
　g(x) = (f(x))^2 - f(x)
のように g(x) を定義したときに
区間 [a,b] において，g(x) の y>0 の部分と
y<0 の部分の面積が等しいものを探せばよいわけです．

最も簡単そうな例として
　g(x) = m(x- (a+b)/2)
とすると
　f(x) = (1/2)*{1±√(4mx + 1 - 2ma - 2mb)}
となり，
　∫[a→b]f(x)dx ＝ ∫[a→b]{(f(x))^2}dx
を満たすことが確認できます．

ご質問の 2 - √x に対応する g(x) は
　g(x) = x - 3√x + 2
で，これは 0<x≦1 の正の部分の面積と
1≦x≦4 の負の部分の面積が等しくなっています．

また，x+1 に対応する g(x) は
　g(x) = x^2 + x
で，-3/2≦x≦-1 と -1≦x≦0 の面積がキャンセルしています．

g(x) としてきれいなものを取ると f(x) は
あまり美しくないことが多いですが，
　f(x) = (1/2)*{1±√( 1 + 4g(x) )}
という関係があるので，
区間 [a,b] で面積がキャンセルするもので
√( 1 + 4g(x) ) の√が外れるようなものを探していけば
いろいろと見つかるかもしれません．

お礼

回答ありがとうございます。

そういうg(x)を見つければいいんですね。
ずいぶん簡単な問題に帰着しましたね。驚きました。
いろいろ見つけてみます。
あと、sinとかlogとかでも挑戦しようと思います。

参考になりました。

回答No.1

noname#101087

>∫[a→0](x＋1)dx ＝ ∫[a→0]{(x＋1)^2}dx　　(ただし、a＝-3/2)

なるほど。
…というので、これの原型をトライしてみました。(原点シフト)

スタート・ポイントが
　　∫[a→b]xdx ＝ ∫[a→b]x^2dx (= M)
で、積分結果は、
　　[(b^2-a^2)/2] = [(b^3-a^3)/3]

これを変形していけば、
　　2b^2+(2a-3)b+(2a-3)a = 0
という二次方程式になる。

たとえば、
　・a=0 のとき、b=2/3 : M=9/8
　・a=-1/2 のとき、b=1 : M=3/8
あたりが、わりと単純な値の答えですね。

お礼

おっと、先日は「p^qとq^p」への回答ありがとうございました。

そういえば、f(x)＝xの場合はやっていませんでした。
なんとなく最初の式(f(x)＝(2-√x))のインパクトが強すぎて、f(x)＝xのときを調べても感動が薄いと思ったのでしょう。でも、
>a=-1/2 のとき、b=1
これはきれいですね。

参考になりました。