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整数環 ０×∞を含む式
以下において、数はすべて整数とします。 論理式では"∈Z"という記述を略しています。 まず、∞を含む等式とεδ論理式の対応について確認します。 f(∞) = a という等式は、 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |f(x)-a|<ε) という論理式に対応しており、これが真なら元の等式は成立すると考えます。 f(∞) = ∞ という等式は、 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ f(x)>ε) という論理式に対応しており、これが真なら元の等式は成立すると考えます。 たとえば、 Σ[k=1,∞]1 = ∞ という等式は、 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1>ε) という論理式に対応し、これは真であるから、元の等式は成立します。 以上の規則に従って考えた場合、 質問１：この等式は成立しますか？ 1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞ Σ[k=1,∞]1 + 1 = ∞ □私の考え 与えられた等式は、それぞれ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ 1 + Σ[k=1,x]1>ε) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1 + 1>ε) に対応し、いずれも真であるから、どちらの等式も成立する。 質問２：この等式は成立しますか？ 0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 □私の考え 乗法は a × b = Σ[k=1,b]a で定義されている。ただし、b = 0 ならば a × 0 = 0 とする。（aとbを逆にする考え方もある） たとえば 2 × 3 = Σ[k=1,3]2 = 2 + 2 + 2 = 6 となる。 任意の正数xに対し Σ[k=1,x]1 = x であるから、 0 × Σ[k=1,x]1 = Σ[k=1,Σ[l=1,x]1]0 = Σ[k=1,x]0 となる。 よって、与えられた等式は ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[k=1,x]0|<ε) に対応し、これは真であるから、元の等式は成立する。 等式と論理式の対応の仕方に問題があるか、あるいは計算ミスなどがあれば指摘してください。
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- jmh
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> lim[y→∞]h(y) = c > である時に > b * lim[y→∞]h(y) = b * c > であることが示せないのです。 「lim[y→∞]h(y) = c の両辺に左から b を乗じて、b * lim[y→∞]h(y) = b * c を得る。証明終わり。」ではダメなのでしょうか? # ところで「示せない」とはどういう意味なのでしょうか。 # 「否定を証明できる」のか? それとも「(まだ)示せない」のか? # もしかして「示せないことを証明できる」のか?
- jmh
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> 問題となる箇所は見つけられなかったようですね。 はい、そう思います。lim に直す方法を #4 で示しました。普通に lim を使ってください。 # 四角い車輪でした。
お礼
＃４の方法では、部分的な極限値が表せません。 つまり、 lim[y→∞]h(y) = c である時に b * lim[y→∞]h(y) = b * c であることが示せないのです。 同じ等号を使っている式が同じ意味を持っていないのですから、これはもう欠陥品と言わざるを得ません。 ＃自分ではちゃんとした車だと思ってるようですが、前輪は付いてても後輪がないようなものですね。 ＃まったく役に立ちません。 回答ありがとうございました。
- jmh
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> lim[x→∞]g(x) □ lim[y→∞]h(y) = lim[x→∞,y→∞]f(x,y) > と定義すれば良さそうですね。 いいえ。「良さそう」とは思えないです。定義を丸暗記するのは面倒くさいです。
お礼
問題となる箇所は見つけられなかったようですね。 回答ありがとうございました。
- jmh
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> その意味で、”等式”と表現したのは不適切だったかもしれません。 この記法を lim に直すには、 1. 左辺に ∞ が現れたら、 2. すべての ∞ をそれぞれ異なる（未使用の）文字ｘ，ｙ，…，ｚに置き換え、 3. 左辺全体を lim [ｘ→∞，ｙ→∞，…，ｚ→∞] で囲う とできそうです。この逆の操作をして lim から借用すればよいと思います。
お礼
変数が２つの場合を考えれば十分だと思うので、以下はそれに従います。 lim[x→∞,y→∞]f(x,y) = a が成り立つには、 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∀y (x>δ∧y>δ ⇒ |f(x,y)-a|<ε) が真であることを示せば良いのですね。 あるいは、 lim[x→∞,y→∞]f(x,y) = ∞ という式は、 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∀y (x>δ∧y>δ ⇒ f(x,y)>ε) になります。 f(x,y)が演算子□を含み g(x) □ h(y) = f(x,y) であった場合に、 lim[x→∞]g(x) □ lim[y→∞]h(y) = lim[x→∞,y→∞]f(x,y) と定義すれば良さそうですね。 これで、部分的なlimにも論理式による意味が与えられます。 今回の質問をこの定義で表すなら、質問１は 1 + (lim[x→∞]Σ[k=1,x]1) = ∞ (lim[x→∞]Σ[k=1,x]1) + 1 = ∞ となります。あるいは、Σを使う意味がないので 1 + (lim[x→∞]x) = ∞ (lim[x→∞]x) + 1 = ∞ で構わないですね。 もちろん、どちらも成り立ちます。 質問２は 0 × lim[x→∞]Σ[k=1,x]1 = 0 あるいは 0 × lim[x→∞]x = 0 となり、当然これも成り立ちます。 回答ありがとうございました。
- jmh
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> 「∞÷∞ = 1」の左辺は二変数の関数であり、… 「二変数の関数」というのは少し正確ではないような気がしますが気持ちは分かります。「まず、∞を__左辺に１つだけ__含む等式とεδ論理式の対応について確認します。」の__左辺に１つだけ__が省略されたのに、誤解していました。ということは、反対に「lim[n→∞] (n ÷ n) = 1」を表現できないのですね。 > 論理式は中の式を変形してはいけないということですか？ 分かりました。1, 2, 3 が省略されていたんですね。「乗法は…」の部分を全然読んでないのは申し訳ないです。たぶん正しいと思います。 やはり省略などしない方がよかったと思います。
お礼
> 反対に「lim[n→∞] (n ÷ n) = 1」を表現できないのですね。 それは単に一変数の関数ですから、 ∀ε>0 ∃δ>0 ∀n (n>δ ⇒ |(n ÷ n) - 1|<ε) で表せます。 でも、それを一変数の等式として表すには、lim という記号は必要でしょうね。 lim は、いくつの変数が存在するか、分かりやすく示すには便利です。 逆に便利すぎて、必要以上に表現できてしまうのが、論理式を考えるには欠点ですが。 今回は lim[x→a]f(x) = b などには出て欲しくなかったので、この記号は使いませんでした。 > __左辺に１つだけ__が省略されたのに、誤解していました。 誤解させてしまい、すみませんでした。 Σ[k=1,∞]1 + Σ[l=1,∞]1 = ∞ なども例に挙げていたなら、防げていたかもしれませんね。 ところで、＃２のお礼では言葉足らずでしたが、 今回使っている等号という記号は、”等しい”という意味を持ちません。 あくまで論理式が真であることを表す記号です。 それが”等しい”という意味を持つのかどうかは、 a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d などの操作が自由に出来ることを証明してからですね。 その意味で、”等式”と表現したのは不適切だったかもしれません。 ですから、 > lim[x→∞]f(x) = a ≠ ∞ > lim[y→∞]g(y) = b ≠ ∞ > の場合に > lim[x→∞]f(x) + lim[y→∞]g(y) = a + b が証明すべき事柄になり、そのためには > lim[x→∞](a + f(x)) = a + lim[x→∞]f(x) が前提になります。 この両辺が論理式で表す際（つまり、∞をxなどの変数にすることで） g(x) = a + f(x) という同じ関数になることが理解していただければ、 > lim[x→∞](a + f(x)) = a + lim[x→∞]f(x) ということも含めて、この質問で > 等式と論理式の対応の仕方に問題があるか と確認していたことが分かると思います。 回答ありがとうございました。
- jmh
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> それで問題ありますか？ 「1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞」は、たいてい、まず左辺の第２項の「Σ[k=1,∞]1」の極限値を計算しようと考えてしまいます。しかし無限大に発散してしまうので、左辺は計算できないと結論してしまいます。右辺の「= ∞」を見ても「左辺全体を極限操作すべきだった」と考え直したりしないと思います（しかし「Σ[k=1,∞]1 + 1 = ∞」の方は「Σ[k=1,∞](1 + 1) = ∞」と思うかもしれません）。また、「∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ 1 + Σ[k=1,x]1>ε)」は、通常「lim[x→∞] (1 + Σ[k=1,x]1) = ∞」と書きます。jmh は、これらを「lim の位置」で判断してます。普通と違うので、紛らわしいなと思ってしまいます。 例えば「∞÷∞ = 1」はここでは「∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |(x ÷ x) - 1|<ε)」のことで x ÷ x = 1 なので真です。しかし、jmh はこのことを「lim[n→∞] (n ÷ n) = 1」などと書いて「lim[n→∞,m→∞] (n ÷ m) = 1」とは区別しています、その必要もあります。未だその必要がなくても、慣れておいた方がよいと思います。 > 証明（あるいは数学的な中身）がないです ではもう一度。 1. 「0 × Σ[k=1,∞]1 = 0」は質問文の 3 行目の「∞を含む等式」であり、 2. 「以上の規則に従って考えた場合」とあるので、書かれている通りにすると 3. 「∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |(0 × Σ[k=1,x]1) - 0|<ε)」と 4. しなければならないように思えます。 5. そうしていないという理由で 6. 「乗法は…∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[k=1,x]0|<ε)」の部分は「間違ってると思います」。
お礼
> しかし無限大に発散してしまうので、左辺は計算できないと結論してしまいます。 結論が先にあるのですね。それを論理式で示すことはできますか？ そもそも、 lim[x→∞]f(x) = a ≠ ∞ lim[y→∞]g(y) = b ≠ ∞ の場合に lim[x→∞]f(x) + lim[y→∞]g(y) = a + b ということを証明してなければ 1 + lim[y→∞]g(y) = 1 + b などの結果は出てきません。（つまり、計算がまったくできません） あなたはそれを論理式の裏付けもなく使おうと提案してるのかもしれませんが、私は受け入れられません。 それに対し lim[x→∞](a + f(x)) = a + lim[x→∞]f(x) と考えるのは、自然なことです。 > 例えば「∞÷∞ = 1」はここでは「∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |(x ÷ x) - 1|<ε)」のことで x ÷ x = 1 なので真です。 「∞÷∞ = 1」の左辺は二変数の関数であり、「∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∀y (x>δ∧y>δ ⇒ |(x ÷ y) - 1|<ε)」とすべきですね。 結果は求められません。 > 5. そうしていないという理由で 論理式は中の式を変形してはいけないということですか？ > x ÷ x = 1 なので真です。 と書いているように、あなたは変形（あるいは計算）してますよね？ それとも乗法の定義に従って変形してる私の記述が理解できないということでしょうか？ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |(0 × Σ[k=1,x]1) - 0|<ε) の絶対値の記号内だけに注目すると (0 × Σ[k=1,x]1) - 0 = (0 × Σ[k=1,x]1) = 0 × Σ[k=1,x]1 乗法の定義に a = 0, b = Σ[l=1,x]1 を代入すると a × b = Σ[k=1,b]a = Σ[k=1,Σ[l=1,x]1]0 = Σ[k=1,x]0 となる。 これを元の論理式に入れて ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[k=1,x]0|<ε) になる。 今度は理解できることを期待します。 回答ありがとうございました。
- jmh
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> 論理式では"∈Z"という記述を略しています。 新しい表記法なので、省略などしないで正書法を紹介してください。 > 1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞ > ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ 1 + Σ[k=1,x]1>ε) これを「lim[x→∞] (1 + Σ[k=1,x]1) = ∞」と書くことが多いと思います。 # 「1 + lim[x→∞]Σ[k=1,x]1 = ∞」ではありません。 # 「Σ[k=1,∞] …」は「lim[x→∞] Σ[k=1,x] …」 の省略形に使うことが多いので、 # 大変紛らわしい表記法だと思います。 > 0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 これは、「∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |(0 × Σ[k=1,x]1) - 0|<ε)」の意味であると直接に定義されています: > f(∞) = a > という等式は、 > ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |f(x)-a|<ε) なので、 > 乗法は > … > よって、与えられた等式は > ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[k=1,x]0|<ε) は間違ってると思います。 > 真であるから、 証明がないです。（×３） # 四角い車輪だと思います。
お礼
> 新しい表記法なので、省略などしないで正書法を紹介してください。 省略してると理解できない、あるいは誤解が生じるおそれがあるのなら、そうします。 でも、あなたの回答からは、どちらの可能性も窺えません。 > # 大変紛らわしい表記法だと思います。 紛らわしいも何も、区別していません。 それで問題ありますか？ それに、 > # 「1 + lim[x→∞]Σ[k=1,x]1 = ∞」ではありません。 がどんな論理式になるのか示されていないので、指摘も中途半端です。 > は間違ってると思います。 証明（あるいは数学的な中身）がないです。 どこが間違ってるという指摘もなしに、主観的な感想を述べないでください。 回答ありがとうございました。
お礼
すみません。返答が遅れました。 > 「lim[y→∞]h(y) = c の両辺に左から b を乗じて、b * lim[y→∞]h(y) = b * c を得る。証明終わり。」ではダメなのでしょうか? ∞ - ∞ = 0 と定義したら、それを認めますか？ b = lim[x→∞]g(x) c = lim[y→∞]h(y) とした時、 b - c = lim[x→∞,y→∞]g(x) - h(y) ≠ 0 となるから定義できないんだと、私はしたいのです。 > # ところで「示せない」とはどういう意味なのでしょうか。 > # 「否定を証明できる」のか? それとも「(まだ)示せない」のか? 演算規則が足りない、つまり「(まだ)示せない」という意味です。 「等式とは、対応する論理式が真であること」と定義しました。 その定義を使って、通常の演算が行えるという証明ができません。 "=" という記号を使っているので分かりにくいかもしれませんが、"= ∞" は等式ではありませんね。 等式を拡張したのですから、それによる証明が必要になります。 この証明について、「元の意味の等式が成立すること」と、つまり b ≠ ∞ かつ c ≠ ∞ において lim[x→∞]g(x) = b ならば lim[x→∞]g(x) * c = b * c lim[y→∞]h(y) = c ならば b * lim[y→∞]h(y) = b * c などと定義することは出来るのですが、これも定義を加えたことに変わりません。 これにより、 lim[x→∞]g(x) = b かつ lim[y→∞]h(y) = c ならば lim[x→∞,y→∞]g(x) * h(y) = b * c となります。 この場合、∞を含む演算は未定義となるのですが、定義できない理由は存在しないので、先ほどの ∞ - ∞ = 0 も定義可能になって都合が悪いのです。 結局、言いたいことは、新しい定義を行った場合に、以前の定義で行ってたことがそのまま成立することは自明でないということです。 整数で 1+2=3 だからと言って、実数でも 1+2=3 とは言えない。 実数での 1,2,3 の定義、+,= の定義などが整数とは別にあって初めて成立するのです。 回答ありがとうございました。