Parsevalの等式と指示された関数を使ってΣ[k=1..∞]1/(2k-1)^2とΣ[k=1..∞]1/k^2の和を求めよ

質問

[問] (1) 直交系{sin(nx)}は[0,π]で完全とする。Parsevalの不等式は
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxとなる。但し
,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx
(2) Parsevalの等式と指示された関数を使って次の級数の和を求めよ。
(i) Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2,f(x)=1
(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=x

で(2)の求め方が分かりません。
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2

となったのですがこれからどうすればいいのでしょうか?

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

偶関数だからというより、ｎが偶数のとき
　b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
は n/2周期にわたる積分になるので0です。

お礼

> 偶関数だからというより、ｎが偶数のとき
> 　b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
> は n/2周期にわたる積分になるので0です。

そうですね。
k∈Nの時,
b_(2k) = 2/π∫[0..π] sin((2k)x)dx=2/π∫[0..π/2]sin(2kx)dx+2/π∫[π/2..π]sin(2kx)dx
=(1-(-1)^k)/(πk)+((-1)^k-1)/(πk)=0
となりますね。

従って,
b_(2k-1)=2/π∫[0..π]1・sin((2k-1)x)dx=2/π∫[0..π]sin((2k-1)x)dx=2/π[-1/(2k-1)cos((2k-1)x)]^π_0=4/((2k-1)π)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=Σ[n=1..∞](b_(2k-1))^2=Σ[n=1..∞](4/((2k-1)π))^2
一方,2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2
故にParsevalの等式Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxに代入して
Σ[k=1..∞](4/((2k-1)π))^2=2
16/π^2Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2=2
∴ Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2=π^2/8
と解けました!

(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=xについては
b_n=2/π∫[0..π]xsin(nx)dx=2/π[-x/ncos(nx)+1/n^2sin(nx)]^π_0
=2(-1)^(n+1)/(nπ)
一方,2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]x^2dx=2/π[x^3/3]^π_0=2/π・π=2π^2/3
故にParsevalの等式Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxに代入して
Σ[k=1..∞]4/(kπ)^2=2π^2/3
4/π^2Σ[k=1..∞]1/k^2=2π^2/3
∴Σ[k=1..∞]1/k^2=π^4/6
と解けました。

回答No.2

grothendieck

ついでに言うと、
　Σ1/(2k-1)^2 = π^2 /8
になりました。

お礼

> ついでに言うと、
> 　Σ1/(2k-1)^2 = π^2 /8
> になりました。

えっえっ!
どのようにして
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2
からそこに辿り着けるでしょうか?

回答No.1

grothendieck

書いてある通りにやるだけじゃないの。まずf(x)=1 でｎが偶数のとき、b_nが０でないとおかしいと気がついてくれ。

お礼

ありがとうございます。

> 書いてある通りにやるだけじゃないの。

b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2
とやってみたのですがこれからどうすればいいのでしょうか?

> まずf(x)=1 でｎが偶数のとき、b_nが０でな
> いとおかしいと気がついてくれ。

f(x)=1は偶関数だからフーリエ係数でb_nsin(nx)部分が消えないといけないという事ですね。
nが偶数の時,(b_n=)4/(nπ)は0となりませんよね?

すいません。どうすればいいのか分かりません。