積分の絶対値

質問

積分 I=∫[a→b]f(x)dxに絶対値を付けると，不等式
|∫[a→b] f(x)dx| <=∫[a→b] |f(x)|dx (1)
が成り立つと思うのですが，左辺は積分の上限と下限を入れ替えても値は変わらないから
|∫[a→b] f(x)dx| =|∫[b→a] f(x)dx| <=∫[b→a] |f(x)|dx (2)
も成り立ちそうです．(1）式の右辺をAとおくと，(1)と(2)はそれぞれ
|I|<=A，|I|<=-A
を意味しているように見えます．これはつまり|I|はAか-Aのどちらか小さい方より小さいということを意味しているのでしょうか？個人的にはこの解釈があっているとは思わないのですが，どこが間違っているのかもわかりません．もしどこが間違いがあればご指摘願います．

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＞積分 I=∫[a→b]f(x)dxに絶対値を付けると，不等式
＞|∫[a→b] f(x)dx| <=∫[a→b] |f(x)|dx (1)

成り立ちません
反例：a=0 b=-1 f(x)=x

|∫[0->-1] x dx| = 1/2

∫[0->-1] |x| dx = -1/2

a<bなら成り立つけど．

お礼

つまり，a<bでないといけないということですね．
ありがとうございます．