連立不等式の問題教えて下さい！

質問

数学の勉強をしているのですが、連立不 等式の問題がわかりません(>_<)わかる方教えて下さい！！

aは整数の定数であるとする。xに関する 連立不等式2x－a－1>3x＋4、5x－4≧3x －2bを満たす整数の解が4個あるとき、 定数aとbの間に( )≦b＜( )の関係がある。 空欄にあてはまるaの式を求めなさい。

まず一つ目の不等式を計算するとx＜－a －5になります。二つ目の不等式はx≧－ b＋2になるところまではわかるのですが、そのあとの解き方が何回やってもわかりません。わかる方教えて下さい！ ちなみに答えはa＋11≦b＜a＋12になり ます。よろしくお願いします！

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

添付図を見てください。

共通部分は図示できると思います。

それで、その共通部分に整数値が4個あるという条件を加えたのが添付図です。（赤線が整数のプロット点です）

だいたいこんな感じになればよいという図を描きました。

この図から、aは定数と問題文に書いてあるので、-a-5は動かせません。
だから題意を満たすには、-b+2を動かすことになります。

そこで図のようなならびになればよいのですが、
数直線上で整数値は１ずつ増減します。・・・、-3、-2、-1,0,1,2,3、・・・のように。

ここで固定点-a-5は整数値です。（一番右の赤線）
その一つ小さい整数値は-a-6です。（その左となりの赤線）
またその一つ小さい整数値は-a-7です。（同上）
またその一つ小さい整数値は-a-8です。
またその一つ小さい整数値は-a-9です。
と順に考えていくと、

題意を満たすには-b+2が-a-9と-a-10の間にあればよいことがわかります。

だから、式で上記を表すと、-a-10<-b+2≦-a-9　となります。（ここで-a-9には＝がついています。なぜなら、-b+2は図で●、すなわちその点を含むということなので、題意を満たすには＝もＯＫということです。-a-10のほうはイコールとつけてしまうと、整数値が5個になってしまいますので、つけていません。このあたりは自分でよく考えてみてください）

これでbの範囲は決まりました。あとは式を簡単にするだけです。
-a-10≦-b+2<-a-9
各辺に-2を加える。
-a-12<-b≦-a-11
各辺に-1をかける。（マイナスをかけているので不等号の向きに注意）
a+11≦b<a+12・・・答え

図を描いて考えないと普通は頭が混乱します。どっちに≦か＜の区別もしっかりしないといけないのでなおさらです。頭の中で考えすぎないで図にどんどん情報を書き込んでいくとよいと思います。

ご参考までに。

お礼

お返事ありがとうございます。丁寧に教えていただきやっと理解することができました。わかりやすい数直線も添えていただいてすごく助かりました。本当にありがとうございました。

回答No.5

birth11

- b + 2 <= x < - a - 5

まで分かってます。

x は 連続する整数なので x は
- a - 6 , - a - 7 , - a - 8 , - a - 9
の 4個の解を持つ。

- a - 10 < - b + 2 < - a - 9 ………(1)
または、
- b + 2 = - a - 9 ……………………(2)

(1)より a + 11 < b < a + 12 ………(3)
(2)より b = a + 11 …………………(4)

(3)と(4)の和集合なので

a + 11 <= b < a + 12 ……………(答)

お礼

ご回答いただきありがとうございました。教えていただいた内容を含めて再度解き直してみたいと思います。本当にありがとうございました。

回答No.4

suko22

＃３です。

他の方の回答をみました。

http://okwave.jp/qa/q7694285.html
同じ質問をしているようですね。これはマナー違反です。

しっかりとお礼をし、締め切ってから新たな質問をしてください。

わからないなら補足を入れるなりして回答者に詳細な解説をお願いするなりしてください。
そうでないとせっかく回答してくれた方に失礼ですし、私のように新たに回答するものにとってもこのようなことがわかってしまうと、回答しようとする気持ちがなくなります。

回答No.2

_julius

簡単にいうと，右端から左端を引いた物が4以上5未満になるということですが，順を追っていきましょう。

「aは整数の定数である」。
ということは，整数であるaの符合を変えても整数です。
だから-aは整数。
で，整数である-aに，整数を足そうが引こうが整数ですよね？
だから，-a-5も整数です。
ここまではOKですか？（第1段階）

次に，整数である-a-5は，xの解としての4つの整数には含まれない，ということが言えます。
なぜなら，x<-a-5だから，つまり，xは整数である-a-5「より小さい」ということで，-a-5を含まない（不等号にイコールがついていない）からです。（第2段階）

これを踏まえて，-b+2≦x<-a-5の数直線を書いてみましょう。
横線に，等間隔に縦線を引いていって下さい。
縦線は整数です。
で，右寄りの適当な縦線の1つに，「-a-5」と名前を付けて下さい。これが右端です。
-a-5が整数であること，それが階に含まれないことは先ほど確認しましたね。
では，左端の，「-b+2」はどこにあるでしょうか。
-b+2≦x<-a-5の範囲に整数が4つなければならない。
ということは，-a-5の縦線の左には，縦線がさらに4本ないといけないということです。（第3段階）

さらに言えることがあります。
「-b+2≦x」ですから，-b+2自体が，xの整数解である，ということがあり得ます。
不等号にイコールがついているからです。
つまり，-a-5の左にある4本の整数。
その4本目が，-b+2だ，ということがあり得るということです。（第4段階）

では，5本目が-b+2だということがあり得るでしょうか？
あり得ませんよね。
5本目が-b+2だったら，-b+2≦x<-a-5の範囲に整数，つまり縦線が5つになってしまいますから。
つまり，-b+2は，4本目真上から，5本目ギリギリまでのどこかだ，ということが言えます。（第5段階）

数直線は書けましたか？
ここまでが理解できるようなら，補足かお礼でお返事を。
理解できない部分があるなら，「第○段階目以降が分かりません」とお返事下さい。
続きはそれからです。

P.S.
昨日も同じ問題を質問しているようですが，誰にもお礼をせずに再度質問するのは失礼ですし，教えて！gooの規約違反ですよ。
これ以上の解説が聞きたいなら，前の質問にキチンとお礼をして締め切って下さい。

お礼

お返事ありがとうございました。そして、回答いただいた方たちに失礼なことをしてしまい申し訳ございませんでした。携帯電話で質問をしていたのでお礼の仕方がわからなかったのですが・・・言い訳になってしまいますね。今後このようなことがないよう心掛けます。本当にすみませんでした。

ご回答いただいたところまで理解することができました。わかりやすく説明して下さってありがとうございます。できたら、この続きのご回答もいただけたら嬉しく思います。

回答No.1

LHS07

横線を描いて

左側が-ｂ+4以上ですからそこに黒丸

右側が-ａ-5未満ですからそこに白丸

ですね。

その間に3つ整数があればいい。

もしｂ＝４のとき－ｂ＋４が０ですね。

整数が４こだと０，１，２，３はなくてはならないので

－ａ－５は３より大きくないと
－ａ－５＞３
ａ＜－８

ｂ＝５のときは

このようにある値を仮定してそのときにはどのようになるのか、シュミレーションしていくと関係性がわかってきます。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。数直線を実際に書いて解いてみたほうがわかりやすいですね。関係性を考えながらもう一度解いてみたいと思います。本当にありがとうございました。