等式と積分の関係についてです。

質問

⇔は同値を表します。
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→b］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ
は成り立ちますか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ
不定積分は積分定数を含みそれが任意定数なので関数としては不定つまり一意に決まる関数ではありません。なので「∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ」といった等式でかけません。
なのでこの命題は意味がありません。
んおで逆を考えることも意味がありません。

>ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→b］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ
左から右は成り立ちます。

右から左（逆）は成り立ちません。
例）f(x)=|sin(x)|, g(x)=|cos(x)|,[a→b]=[0→π]

お礼

>ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→b］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ
左から右は成り立ちます。
これは成り立ってしまうんですね(^O^)
微分方程式からの疑問だったんですが、関数という解を求めるのは、ひとまとまりの解法として理解しておきます～

補足

間違えました。お礼が抜けています。
ありがとうございます(^^♪

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

＞ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→b］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ

これは a,　b の条件が明確でないと解けない。

例えば任意の　a, b で　と付けるだけでだいぶ話が違ってきます。

お礼

ありがとうございます(^^♪
そうなんですね～