証明問題

質問

区間[a,b]でf(x),g(x)が連続であるとき、任意の実数ｔに対して

　b　
∫ ｛tf(x)＋g(x)｝＾2dx≧0 …(1)
a

がなりたつことに着目して、不等式
　　b　　　　　　　　　　　b　　　　　　　　b
（∫ f(x)g(x)dx)＾2≦∫ ｛f(x)｝＾2dx∫
　　a a a

｛g(x)｝＾2ｄｘ　…(2)
が成り立つことを証明する。

できれば、くわしくおしえてください
ぜんぜんわからないので

回答No.3

noname#24477

簡単のためf(x),g(x)をｆ，ｇと書かせてもらいます。

(tf+g)^2＝t^2f^2+2fgt+g^2
これを積分するとき、（a,bも省略して書かせてもらいます）

t^2∫f^2dx＋2t∫fgdx＋∫g^2ｄｘ

この式を見方を変えてｔについての２次式と考えてください。
ちょっと見づらいので係数をｐ，ｑ，ｒとしてみます。
ｔの係数は２ｑ
pt^2+2qt+r≧0 がすべてのｔについて成り立つとき
（2次の係数ｐ＞０で、）
その判別式ＤはＤ≦０（不等号の向きに注意）
Ｄを計算するとＤ＝4q^2-4pr≦０
q^2-pr≦０
q^2≦pr

さあ、これで先ほどの式と比べてみてください。
わかりにくければ補足します。

回答No.2

Aquoibonist

#1のものです。＃１で
＞これはtに関する2次方程式で、これが任意のtで成り立つ　にはy=Ａt^2+2Bt+Cの判別式Ｄ≧0となればいいから、
と書きましたが、これは間違いですので、訂正します。
正しくは
「y=Ａt^2+2Bt+Cの判別式Ｄ≦0」です。
つまり、任意の実数tで二次関数ｙが常に０以上の値をとるということは、その二次関数はt軸(つまり変数の軸)に接しているか、t軸と交わらないかのいずれかですね。前者の条件は(判別式)＝0に対応しますし、後者の条件は(判別式)＜0に対応するのは数(1)の教科書を参照してください。

回答No.1

Aquoibonist

b　
∫ ｛tf(x)＋g(x)｝＾2dx≧0 …(1)
a
つまり、
b
∫〔t^2*{f(x)}^2+2t*f(x)g(x)+{g(t)}^2〕dx
a
　b 　　　　　 　
= ∫〔t^2*{f(x)}^2〕dx
　a　　　　　　　　　　 　
b
+∫2t*f(x)g(x)dx
　 a
b
+∫{g(x)}^2dx
a
tはxに無関係だから、積分の外に出せて
　 b 　　　　　 　
= t^2* ∫{f(x)}^2dx
　 a　　　
b
+2t*∫f(x)g(x)dx
　 a
b
+∫{g(x)}^2dx
a
b 　　　　　 　
Ａ=∫{f(x)}^2dx
　 a　
　　b
Ｂ=∫f(x)g(x)dx
　 a
　　b
Ｃ=∫{g(x)}^2dx
a
とおけば、与式は
Ａt^2+2Bt+C≧0となる。
これはtに関する2次方程式で、これが任意のtで成り立つにはy=Ａt^2+2Bt+Cの判別式Ｄ≧0となればいいから、
Ｄ/4=Ｂ^2-Ａ*Ｃ≧0
これは証明すべき不等式だから、証明終了。