積分と絶対値の絶対不等式について。

質問

気になっているのは以下の積分と絶対値の不等式です。
|∫[a→b]f(x)dx－∫[a→b]g(x)dx|≦∫[a→b]|f(x)－g(x)|dx

見つけたのは以下のサイトです。(該当箇所のスクショも貼っておきます。)
関数列の極限wikibooks
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E6%A5%B5%E9%99%90
の真ん中より少し上の「極限と積分の順序交換」の一様収束の場合の証明の最初の
式です。基本的な絶対不等式のような気がするのですが、これは自明な式でしょうか？
証明などご存知でしたら、教えてください。
サイトの紹介でも結構です。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

一般に |s| = max { s, -s }である事を思い浮かべるとよい。

| ∫[a→b]f(x)dx－∫[a→b]g(x)dx |
= max{ ∫[a→b]f(x)dx－∫[a→b]g(x)dx, ∫[a→b]g(x)dx－∫[a→b]f(x)dx }
= max{ ∫[a→b] (f(x) - g(x)) dx, ∫[a→b] (g(x) - f(x)) dx }
≦ max{ ∫[a→b] |f(x) - g(x)| dx, ∫[a→b] |g(x) - f(x)| dx }
= ∫[a→b] |f(x) - g(x)| dx

お礼

明けましておめでとうございます。
ご回答どうもありがとうございます。
ご提示のご回答をじっくり読み直したところ、定積分の定義と線形性の理解があやふやであった事が分かり、勉強し直して、何とかわかるようになりました。
この度はとても助かりました。
どうもありがとうございました。