ノルムの基本証明について

質問

朝早くから失礼いたします。

既に定理となっている

||A||1 ≡sup(x≠0) ( ||Ax||1 / ||x|| 1 ) = max(j) Σ(n、i=1) |a(ij)|

最大列和というらしいですが、

これ自体を証明しろという問題がでてしまい、どのように解くかわかりません。どなたか教えてください。お願いします。記号の使い方が汚くてすみません。

回答No.3

zk43

間違い

一般にxj=0,x1=0,…,xj-1=0,xj+1=0,…,xn=0とすると
↓
一般にxj=1,x1=0,…,xj-1=0,xj+1=0,…,xn=0とすると

回答No.2

zk43

A=(aij),x=(xi)として、
Ax=(a11*x1+…+a1n*xn,…,an1*x1+…+ann*xn)
となるので、
||Ax||1=|a11*x1+…+a1n*xn|+…+|an1*x1+…+ann*xn|←(1式)
≦|a11|*|x1|+…+|a1n|*|xn|+…+|an1|*|x1|+…+|ann|*|xn|
＝(|a11|+…+|an1|)|x1|+…+(|a1n|+…+|ann|)|xn|
ここで、M=max(|a11|+…+|an1|,…,|a1n|+…+|ann|)とおくと、
||Ax||1≦M*|x1|+…+M*|xn|＝M(|x1|+…+|xn|)＝M*||x||1
よって、
||Ax||1/||x||1≦M
が成り立つ。
ここで、特に(1式)でx1=1,x2=0,x3=0,…,xn=0とすると、
||Ax||1/||x||1=|a11|+…+|an1|
一般にxj=0,x1=0,…,xj-1=0,xj+1=0,…,xn=0とすると、
||Ax||1/||x||1=|a1j|+…+|anj|
すなわち、xを動かすことによって、Mを取り得る。
つまり、||Ax||1/||x||1≦Mにおいて等号が成り立つ場合もある。
ゆえに、max(x≠0)||Ax||1/||x||1＝M
supになってますが、maxでも良いのかな？

回答No.1

endlessriver

||A||1 ≡ max(j) Σ(n、i=1) |a(ij)|は定義ですね。
||A||1 ≦ max(j) Σ(n、i=1) |a(ij)|の計算は簡単でした。

あとは任意のjについて(0,...0,xj,0,..0)を考えれば
掲題の式が求められるような気がします。