ノルムの証明問題についてです。

質問

次の不等式を示せ。
(1) ||x||∞　<=　||x||2　<= √n||x||∞
(2) ||x||∞　<=　||x||1　<= √n||x||∞
という問題があるのですが、無知なもので何を利用して証明すればいいのかがわかりません。ぜひお願いいたします。
（記号の使い方は||x||nはn-ノルムという意味です。）

回答No.2

Tacosan

両方とも ||x||∞ がポイント. つまり,
・全ての i に対して 0 ≦ |xi| ≦ ||x||∞ である
・ある i に対して |xi| = ||x||∞ である
ということに気付けば定義につっこむだけ.

回答No.1

Tacosan

(2) は最右辺の√が余計か?
念の為それぞれのノルムの定義をお願い.

補足

ノルムの定義は、
||x||p = (Σ|xi|^p)^(1/p) (0 <= i <= n)
つまり、
||x||1 = |x1|+|x2|+・・・+|xn|
||x||2 = √(|x1|^2 + |x2|^2 + ・・・+|xn|^2)
||x||∞ = max(|x1|,|x2|,・・・,|xn|)
です。
（２）の最右辺の√は余計でした！
正しくは
(2) ||x||∞　<=　||x||1　<= n||x||∞
です。ご指摘ありがとうございます。