群論の問題です

質問

演算*で構成された有限集合Ｇで　|G|=n Ｇは単位元eを含む　A=[a(ij)]を乗積表 a(ii)=e(i.e. ｘ^2=eだから　x=x^(-1))とする。
任意のi.j.kに対して、a(ij)*a(jk)=a(ik)のとき、またそのときに限り結合律が成り立つことを証明して下さい。
ちなみに、a(ij)=x(i)*x(j)です。
条件a(ij)*a(jk)=a(ik)とx=x^(-1)から　可換だということは分かったんですが、
結合法則が成り立つことが証明できません。よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

G={x(i)|i=1～n}
とする
任意のi.j.kに対して、a(ij)a(jk)=a(ik)とする
任意のi,j,kに対して
x(m)=x(j)x(k)となるmが存在する
a(ij)=x(i)x(j)
a(jm)=x(j)x(m)=x(k)
だから
{x(i)x(j)}x(k)
={a(ij)}a(jm)
=a(im)
=x(i)x(m)
=x(i){x(j)x(k)}
∴
任意のi.j.kに対して、a(ij)a(jk)=a(ik)のとき
任意のi.j.kに対して、{x(i)x(j)}x(k)=x(i){x(j)x(k)}
結合律が成り立つ

結合律が成り立つとき
任意のi.j.kに対して、
a(ij)a(jk)
={x(i)x(j)}{x(j)x(k)}
=[{x(i)x(j)}x(j)]x(k)
=[x(i){x(j)x(j)}]x(k)
=x(i)x(k)
=a(ik)

回答No.1

R_Earl

> 結合法則が成り立つことが証明できません。よろしくお願いします。

結合法則が成り立つかどうかに関しては、ただ単に
(x*y)*z = x*(y*z)である事を示せば良いのではないでしょうか。
なので
(a(ij) * a(jk)) * a(kl) = a(ij) * (a(jk) * a(kl))
である事を示せば良いと思います。
左辺も右辺もa(il)になりますよね
(任意のi.j.kに対して、a(ij)*a(jk)=a(ik)が成り立つので)。

任意のi.j.kに対してa(ij)*a(jk)=a(ik)が成り立つ時「だけ」に結合律が成り立つ
という事に関してはまだちゃんと考えていないので分かりません。
あるi, j, kに対してa(ij)*a(jk)≠a(ik)であると仮定すると、
矛盾を導けそうな気がしますが…。