微分の公式の証明

質問

f(x)=(ax+b)^n 　　　　　　ただしa,bは定数
としたら，xで微分して
f(x)´=na(ax+b)^(n-1)
となるのはどうしてですか？
どなたか証明できましたら教えてくださいm(_ _)m
…二項定理使用？

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

f(x)=(ax+b)^nの場合を証明します．
【Pr】
f(x+h)={(ax+b)+ah}^n =(ax+b)^n+n(ah)・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)^2・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^n
=f(x)+n(ah)・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)^2・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^n

ゆえに，f(x+h)-f(x)=ah{n・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^(n-1)
すなわち，
{f(x+h)-f(x)}/h=a{n・(ax+b)^(n-1)
+{n(n-1)/2!}(ah)・(ax+b)^(n-2)+…+(ah)^(n-1)}
となり，
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=a{n(ax+b)^(n-1)}である．

左辺は定義よりf'(x)と書けるので，
f'(x)=na(ax+b)^(n-1)．　【Ｑ．Ｅ．Ｄ】

もっと簡単な証明方法もあります．mmkyさんによって
d(t^n)/dt=nt^(n-1)は証明済みなのでそれと，
y=(ax+b)^n，t=ax+bとおいて
合成関数の微分法
dy/dx=(dy/dt)・(dt/dx)
を使えばあっさりですね．

数学者はこれではきっと満足しないので厳密なε-δ論法を使って証明するのでしょうね．

お礼

ありがとうございますm(_ _)m

回答No.4

i536

帰納法で下式(1)を証明します。

((ax+b)^n)´=na(ax+b)^(n-1) ---(1)

n=1のとき、
((ax+b)^1)´=(ax+b)´=a=1*a*(ax+b)^(1-1) ---(2)
したがって、式(1)が成立する。

n=kのとき、式(1)が成立すると仮定すると、
次式(3)が仮定できる。
((ax+b)^k)´=k*a*(ax+b)^(k-1) ---(3)

すると、n=k+1のとき、
((ax+b)^(k+1))´
=((ax+b)^k*(ax+b))´
=((ax+b)^k)´*(ax+b)+(ax+b)^k*(ax+b)´---積の微分公式より
=k*a*(ax+b)^(k-1)*(ax+b)+(ax+b)^k*a---仮定式(3)、式(2)より
=(k+1)*a*(ax+b)^k
=(k+1)*a*(ax+b)^((k+1)-1).---(4)
したがって、式(4)より、n=k+1で式(1)が成立する。

以上より、n>=1について、式(1)が成立する。

回答No.3

mmky

Rossanaさんの正しい解答がありますので、訂正とお詫びまで
式の記述にミスがありましたので誤解を与えましたね。ごめん。
「lim[h→0]{f(ax+b+h)-f(ax+b)}/h=an(ax+b)^n-1 」
は式の記述ミスがありました。
hはxの変分ですから
lim[h→0]{f{a(x+h)+b)-f(ax+b)}/h=
=lim[h→0]{f{ax+b+ah)-f(ax+b)}/h=an(ax+b)^n-1
が正しい式ですね.　ah が正しい記述です。
ｈがa倍になっていますので前にaがでるのですね。

お礼

ありがとうございますm(_ _)m

回答No.1

mmky

参考程度に
まず、f(x)=x^n を考えましょう。
f(x+h)=(x+h)^n =x^n+nx^n-1*h+n(n-1)x^n-2*h^2/2!+・・+h^n
f(x+h)-f(x)=h{nx^n-1+n(n-1)x^n-2*h/2!+・・+h^n-1}
導関数の定義から
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=nx^n-1

題は、f(x)=(ax+b)^n なので,
lim[h→0]{f(ax+b+h)-f(ax+b)}/h=an(ax+b)^n-1
ということでしょうね。

補足

参考の数式は理解できたんですけど，
下の「………ということでしょうね」の部分の，
途中式はどのようになるんですか？代入だけで済みますか？
済むんでしたらどこに代入すればよいのでしょうか…(;_;)?
xに代入するとn(ax+b)^n-1　になってしまう…。