作用素論を勉強するために必要な知識(証明問題が解けません)

質問

作用素論を勉強しているのですが、どんな知識が必要でしょうか？？特に証明問題ができずに困っています。

できない問題はたくさんあるのですが、たとえば、
『A∈B(H)が自己共役ならば、||A||=sup(||x||<1)|<Ax,x>|=sup(||x||=1)|<Ax,x>|』という問題があったとします。この証明では、不等式が出てくるのですが、証明の過程で出てきた不等式が、何故出てきたのか、どこから出てきたのかがわかりません。。。
他にも、『空間Xは、||・||をノルムとしてバナッハ空間になることを示せ』という問題なんかも、証明の途中で不等式や極限操作が出てきます。何故そうなっているのか、どこからその不等式が出てきたのかがわかりません。

わかりづらい表現で申し訳ないのですが、とにかく、証明の過程で出てくる不等式は何故出てくるのか、どこから出てきたのか、どうやったら閃けるのかがわからないのです。

どなたか説明できる方がいらっしゃれば、お願いいたします。

回答No.3

HANANOKEIJ

こんにちは、wazaさん。培風館「集合・位相空間要論」p.117にヒントになりそうな記述がありました。図書館で、岩波書店「位相解析の基礎」吉田耕作ほか、「集合・位相入門」松坂和夫著p.275～、「現代数学概説II」p.66～ノルム空間などを参照してみてください。証明については、「そのまま使える答えの書き方」シリーズ(講談社)などを読んでみてください。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4874721672/250-6878290-7101036
http://shop.kodansha.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=1539647
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1407-9.htm

お礼

お礼が大変遅くなりまして、申し訳ありません。

提示していただいたURLを参考に、図書館で調べてみたところ、問題は解決しました。ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

>何らかの課題やレポートのテーマを記載し、ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反です。

ということですので、本の証明がどのようになっていて、ご自分でどこまで考えたのかを示さないとマナー違反になります。一度、ここは閉じて、新たに、この証明問題について質問されることをお薦めします。そこで、回答させて下さい。（なるべく、ていねいにご自分の考えた道筋を示して下さい。問題の丸投げはマナー違反です。）

お礼

大変返事が遅くなり、もうしわけありません。その後、自分で考えた結果、問題が解決しました。

ご丁寧にアドバイスいただき、ありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

>作用素論を勉強しているのですが、どんな知識が必要でしょうか？？特に証明問題ができずに困っています。

証明問題ができない原因は、いろいろあると思いますが、やはり、主な原因として考えられるのは、基本的な概念を理解していないことにあると思います。定義や、基本的な定理をしっかり理解しておくことが大切です。また、本に書かれている証明を理解するには、その前に、自分で証明を考えてみることが大切なことです。自分で考えて、証明のイメージをつかむことができたら、本を読み直してみて下さい。そうすることによって、不等式が何故出てきたのか、ということや、自分の気付かなかったこと、見落としていたことなどが明確になると思います。本に圧倒され、飲み込まれてしまうのではなく、「本はヒントを知る程度に活用すればよい」という視点で本に接してみることも、時として必要な場合もあります。

予備知識としては、線形代数、位相空間論、積分論（リーマン積分、ルベーグ積分）程度でいいんじゃないかと思います。

補足

なるほど…回答ありがとうございます。

『どこがわからないか？』ということを言葉で説明するのは難しいのですが、不等式を用いて、ある範囲内に抑え込むタイプの証明が苦手だと感じています。

ちなみに、例として挙げた『線形作用素が自己共役になる場合のノルム』の証明はできますでしょうか？
||A||≧sup(||x||=1)|<Ax,x>|は言えるのですが、||A||≦sup(||x||=1)|<Ax,x>|の証明がわかりません。
今使っている本に証明がのっていて、極化等式を使って示しているのですが、理解できません…

質問の趣旨から外れてしまっていましたら、申し訳ありません。