ノルムについての問題です

質問

関数解析の本を読んで勉強していたところ、下の問題で行き詰まってしまいました。どなたか力をお貸し下さい。

||ｘ|| ＝max｛|ｘ1|,|ｘ2|,・・・,|ｘn|｝とする。さらに
Ａをn次実正方行列とする。||Ａ|| を

　||Ａ||＝sup[x≠0]||Ａｘ||/||ｘ||

と定義する。このとき以下を示せ。

(1)　||Ａ||＝sup[||x||＝1]||Ａｘ||

(2)　Ａの(j,k)成分を(Ａjk)としたとき、
　　||Ａ||＝max[1≦j≦n]Σ[k=1,n](Ａjk)

(3)　任意のｘに対して
　　||Ａｘ||≦||Ａ||・||ｘ||　（・は普通の積を表します。）

(4)　任意のｎ次正方行列Ａ、Ｂに対して
　　||Ａ＋Ｂ||≦||Ａ||＋||Ｂ||
　　||ＡＢ||≦||Ａ||・||Ｂ

以上です。
(1)はsupの定義にまで戻って考えてみて、
さらにここに同じような内容の質問と回答を読ませて頂いてほぼ解決できたのですが、(2)以降に苦戦しています。
Ａやｘに具体的に数値を当てはめてみて、色々と検証してみた結果、
||Ａ||を大きくするには、ｘの成分に飛び抜けたものがなく、みんな同じような値をとればいいのかな、ということは何となくわかったのですが、それではあまり証明にアプローチできていないような・・・。

わかる方、回答よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan

そういえば, これって sup である必要あるのか? max でいいような気がするなぁ.
(2):
まず n 次元ベクトル c=(c_1, ..., c_n) に対して max[||x||=1] |cx| = Σ[j=1..n] |c_i| です.
A の第 i 行を A_i, (i, j) 成分を a_ij と書くと任意の x (||x||=1) に対して
||Ax|| ≦ max[i=1..n] |A_i x| ≦ max[i=1..n] Σ[j=1..n] |a_ij|
が得られます. 一方, ||Ax|| = max[i=1..n] Σ[j=1..n] |a_ij| であるような x (||x||=1) は実際に構成可能ですから, あわせて
||A|| = sup[||x||=1] ||Ax|| = max[i=1..n] Σ[j=1..n] |a_ij|.
(3):
sup の定義を書いてみてください.
(4):
上は (2) から, A+B の (i, j) 成分が a_ij + b_ij であって三角不等式 |a_ij + b_ij| ≦ |a_ij| + |b_ij| が成り立つことより.
下は (AB)x = A(Bx) だから ||ABx||/||x|| = (||ABx||/||Bx||) (||Bx||/||x||).

お礼

やっと解くことができました！
長い時間がかかりましたが、すっきりしました。
また、わからない問題にぶちあたったときには、
助けていただけると幸いです。

お礼が遅くなり、大変申し訳ございませんでした。

補足

いろいろと説明ありがとうございます。
証明がきちんと完成できるように、この週末を使って自分なりに頑張ってみようと思います。
また行き詰ってしまったら、助けを借りるかも知れませんが
そのときはどうぞよろしくお願いします。

回答No.2

R-gray

すみません、supというのはどういう意味の記号でしょうか？

回答No.1

Tacosan

(2) は c = (c_1, ..., c_n) に対し
max[||x||=1] |cx| = Σ|c_i|
であることからすぐでは?
(3) は定義からほぼ自明, (4) の上は (2) から, 下は (3) から.

補足

すぐや自明と言われましても、私にはそう見えないんです・・・。
すみませんが、もう少し具体的に証明の方向性を示して頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。