解析学の基本事項の証明の仕方・・・

質問

解析学の基本事項の証明の仕方・・・

上限・下限の証明を、∀、∃を使って、どう表記すべきか？
全てのsup , inf の記号の下に、 ｎ∈Nが付きます。

sup(a_n)＝{a₁,a₂,a₃・・・・a_n} 、 sup(b_n)={ｂ₁,b₂,b₃・・・・・,b_n}
sup(a_n＋b_n)=sup(a₁＋b₁,a₂＋b₂＋・・・・・a_n+b_n}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とするとき
(1)a_n>0 ,b_n>0⇒ sup(a_n・b_n) <= sup(a_n)・sup(b_n)

(2)a_n>0 ,b_n>0⇒ inf(a_n・b_n) >= inf(a_n)・inf(b_n)

(3)sup(a_n - b_n) >= sup(a_n) - sup(b_n)

(4)inf(a_n - b_n) <= inf(a_n) - inf(b_n)

(5)inf(a_n + b_n) >= inf(a_n) + inf(b_n)

上記(1)～(5)の証明を、∀、∃を使ってどう表記すべきか？

基本的な性質みたいなものなので、三角不等式の証明みたいな感じに
なるような気はしますが、記号の使い方に慣れていないので手が出ません。

どのように記述したら証明した事になるのでしょう？

回答No.1

boiseweb

そういうことを根本から理解するためには，まず，何より先に
「定義とは何か」
「証明とは何をすることか」
「定義に基づいて（定義に戻って）証明するとはどういうことか」
という，数学における論理的な議論の構築のしかた，というか「思想」を理解している必要があります．

「定義とは何か」「証明とは何か」ということへの認識が欠落したまま，記号の使い方だけを覚えても，得るものは何もありません．
逆に，それらの理解が完璧にできていれば，目の前の数学的問題についての具体的な証明を自力で構築することは難しくありません．

まずは，↓この本を最初から最後まで読んで，数学における「定義」「証明」について認識を深めることをすすめます．

新井 紀子 (著)，数学は言葉—math stories，東京図書

定義に基づく証明を具体的に構築する方法については，↓この本も参考になるかもしれません．

嘉田 勝 (著)，論理と集合から始める数学の基礎，日本評論社