線形写像のノルムに関する関する問題です。

質問

線形写像A∈L(R^n,R^m) (=R^nからR^mへの線形写像全体）
に対して||A||を||A||≡sup{||Ax|| : x∈R^n , ||x||≦１｝で定める。

||A||はm×ｎ個の変数{a}ij (i=1・・・m , j=1・・・ｎ)の連続関数となることを示せ。

さっぱりわからないのでどなたか証明の仕方をお願いします。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

∥A∥=f(a_11,...,a_nn) とおきましょうか。B=(b_ij) に対して
f(a_11,...,a_nn) - f(b_11,...,b_ij)を各|a_ij - b_ij|で評価するというのはいいですか？
後は下に書いた通りに進めるだけです。その際ノルムの三角不等式を使っていますがそれは関数解析などの本には必ず載っています。

お礼

ありがとうございます。
あとは自力で頑張ってみようと思います。

回答No.1

ringohatimitu

|∥A∥-∥B∥|≦∥A-B∥≦max{|a_ij - b_ij|}
より連続であることが従いますね。ここでb_ijはBの成分。

補足

すいません。もう少し具体的に説明していただいてもよろしいでしょうか？