作用素ノルム

質問

作用素ノルムについての質問です。

V，W：ノルム空間　L：V→Wを線形写像とする。

定義 ∥L∥＝sup｛∥L(x)∥ | ∥x∥＝1｝
＝sup｛∥L(x)∥ | ∥x∥≦1｝
　 　　 　＝sup｛∥L(x)∥/∥x∥ | x≠0｝
とする。

このとき∥L∥＝inf｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝を証明したいのですが、
自分で考えた証明を以下書きます。

∥L(x)∥≦c∥x∥　より両辺∥x∥で割り
∥L(x/∥x∥)∥≦c.　

(1)inf｛ｃ｝≦ sup｛L(x/∥x∥)｝＝∥L∥は自明。

(2)Ａ＝｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝とする。
Ａは∥L(x/∥x∥)∥の上界より，任意のc∈Ａに対して
　 sup｛L(x/∥x∥)｝≦c より
∥L∥≦c.
　 両辺下限を取ると
　 inf｛∥L∥｝≦inf｛c｝
∥L∥の定義より∥L∥は任意のｘで成り立つのでｘによらない。
故に∥L∥≦inf｛c｝
よって∥L∥＝inf｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

以上，自分なりの証明なのですが，間違っている箇所や別の証明方法があれば教えてください。
見にくいと思いますがよろしくお願いします。

回答No.2

isoroku_be

(1) infＡ≦∥L∥を言うには∥L∥∈Ａを、
(2) infＡ≧∥L∥を言うにはc≧∥L∥(for ∀c∈Ａ)を示せば十分です。

どちらもＡの定義（c∈Ａ⇔∥L(x)∥/∥x∥≦c(for ∀x)）からすぐに分かるのですが、
確かにinf,supの定義に忠実にやると少し大変ですね・・・
おおむね良いと思うのですが、例えば
> 両辺下限を取ると
>　 inf｛∥L∥｝≦inf｛c｝
>∥L∥の定義より∥L∥は任意のｘで成り立つのでｘによらない。
などは、「∥L∥はＡの下界に含まれるので」と言い換えたほうがいいでしょう。
あと、Ｂ＝{∥L(x/∥x∥)∥｜x∈Ｖ}とおいて書き直せばもっと見通しよくなると思います。

回答No.1

tecchan22

(1)がおかしい。
(2)の証明はちょっとまだるっこしいが、ｏｋ。
(2)はほとんど自明なので、(1)をきちんと証明しやんといかん。

ただ、ちょっと気になる点が。
＞このとき∥L∥＝inf｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝を証明したいのですが、

この｛c | ∥L(x)∥≦c∥x∥｝をもっと正確に書けますか？
分かっているとは思うが、書き方が不正確だから、念のため。

＞∥L(x)∥≦c∥x∥　より両辺∥x∥で割り
∥x∥で割るためには、ｘ≠０が必要です。

＞∥L(x)∥≦c∥x∥　より両辺∥x∥で割り、∥L(x/∥x∥)∥≦c.
これは、素直に∥L(x)∥/∥x∥≦cでいいのでは？Lは線形だから、正しいけれど。

(1)の証明は、まずこれらをハッキリさせてからね。