マルチンゲールの証明

質問

証明の殆んどが分かるのですが、ひつとだけ分からないところがあります。まず、証明します。
問題は：E[ (M(T) - M(S))^2 ] = E[ M(T)^2 - M(S)^2 ] S<=T、Mはマルチンゲール。
を示せです。

E[ ( M(T) - M(S) )^2 ] =　E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 ]
=E[ E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 | F(S) ] ]　　(1)
=E[ M(T)^2 - 2*M(S)*E[ M(T) | F(S)] + M(S)^2 ] (2)
=E[ M(T)^2 - 2M(S)^2 + M(S)^2 ]
=E[ M(T)^2 - M(S)^2 ]

分からないところは、(1)から(2)に行く際に、
なぜE[E[M(T)^2 | F(S)]] = E[M(T)^2}　となるのでしょうか？この関係がどうしても分かりません。教えてください。

回答No.1

adinat

F_s可測性がないのに、なぜそのような変形が出来るのだろう、という疑問だと思いますが、1行目の最後の式から2行目の式変形でもすでに使っている事実です。あるいは、1行目で第1項、第2項、第3項の期待値にそれぞれ分けておけば、そもそも気にする必要もないんですけどね。

タワー性質といって、条件付期待値の性質(定義)そのもので、
E[E[f|A]]=E[f]
というものです。条件付期待値の平均は条件取らなかったときの平均に一致する、というわけですね。