局所マルチンゲールとマルチンゲール

質問

こんにちは。Ｂはブラウン運動（Ｂ（０）＝０）
X(t) = X(0) + ∫[0,t] g(s)dB(s)
Y(t) = Y(0) + ∫[0,t] h(s)dB(s)
ｇとｈは上限があり、g(t)h(t)=0, 0<=t<=Tです。このとき、
X(t)Y(t) = X(0)Y(0) +∫[0,t] X(s)h(s)dB(s) +∫[0,t] Y(s)g(s)dB(s)
となります。ここからのこのように説明されてます。
”そのため、XYは局所マルチンゲールです。gとhは上限があるので、XYはマルチンゲールです。また、X=Y=Bとすれば、XYはマルチンゲールではありません”この説明が全く分かりません。なぜ、この式から、XYが局所マルチンゲールといえるのか、またなぜ上限があれば、マルチンゲールといえるのか、そして、なぜX=Y=Bだと、マルチンゲールでないのか。ご教授いただけたらと思います。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

確率積分、伊藤の公式（半マルチンゲール分解）をよく復習されるとよいと思います。まずブラウン運動による積分は一般に局所マルチンゲールになります。それは確率積分の定義から出てきます。したがって、X(t)Y(t)は局所マルチンゲールの和と定数からなるので、局所マルチンゲールです。局所マルチンゲールM(t)には通常可積分の条件はおかない(つまりE[|M(t)|]=∞でもよい)のですが、代わりに適当な停止時刻の増大列T_n→∞で、M(t∧T(n))がマルチンゲールになることを要求するのでした。今の場合、g,hは有界なので、X(t)Y(t)は可積分になります。これは適当な演習問題ですから、確率積分の定義や性質をよく調べて証明されるとよいです。したがってX(t)Y(t)がマルチンゲールになるわけです。

最後、X=Yのとき、というわけですが、この場合はg=h=1であり、g(t)h(t)=0の条件を満たせないので、したがって質問者様がかかれたような式変形が出来ません。さらにこの場合、XY=B^2(t)というわけです。E[B^2(t)]=tだから、期待値が時間とともに増大します。マルチンゲールであるためには、期待値が時間に関して定数であることが必要ですから、当然これはマルチンゲールではありません。

お礼

有難うございました。理解することができました。半マルチンゲールに関して勉強しなおしてみます。