Mはマルチンゲール。M^2は？？

質問

M=(M(n)),n≧0は　（Ω,F,F(n),P)においてマルチンゲールだとします。
M(n)∈L-2, ∀n。　TとSは有界かつ停止時間です（Ｓ≦Ｔ）。この時、E[ ( M(T) - M(S) )^2 ] = E[ M(T)^2 - M(S)^2 ]を証明せよという問題なのですが、この証明の中で分からないところが一つあります。一応、証明を下に書きます。
E[ ( M(T)-M(S) )^2 ] 　　　　　　　　　(1)
= E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 ] 　(2)
= E[ E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 | F(S) ] ] 　　　(3)
= E[ M(T)^2 - 2M(S) E[ M(T) | F(S) ] + M(S)^2]　　　　(4)
= E[ M(T)^2 - 2M(S)^2 + M(S)^2 ]　　　　　　　　　　　(5)
= E[ M(T)^2 - M(S)^2 ]　　　　　　　　　　　　　　　　(6)

分からないところは、(3)から(4)にかけてです。(3)から(4)を細かく書くと、
E[ E[ M(T)^2 - 2M(T)M(S) + M(S)^2 | F(S) ] ]　
= E[ E[M(T)^2|F(S)] - 2 E[ M(S)M(T) | F(S)] + E[M(S)^2 |F(S)] ]
= E[ M(T)^2 - 2M(S) E[ M(T) | F(S) ] + M(S)^2]
になると思います。
2 E[ M(S)M(T) | F(S)] ＝ 2M(S) E[ M(T) | F(S) ]が成り立つのは、Mがマルチンゲールであるのと、S≦Tであるからだと思うのですが、
なぜ、E[M(T)^2|F(S)] ＝　M(T)^2 がいえるのでしょうか？
同じように、なぜ　E[M(S)^2 |F(S)]　＝ M(S)^2　が成り立つのでしょうか？　自分の考えでは、M^2はマルチンゲールでない、もしくは、M(T), M(S)はF(S)に独立であるからのどちらかではないかなと思うのですが、その場合、どうやってM^２がマルチンゲールでないのか、もしくは、それらがF(S)に独立であるのかが分かるのか教えてください。もし他の理由であれば、その理由をご教授ください。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

2 E[ M(S)M(T) | F(S)] ＝ 2M(S) E[ M(T) | F(S) ]の理由がまず変です。M(S)は停止時刻までの情報（σ-加法族）F(S)に関して可測ですから、したがって条件付期待値の外にでるのです。

それからMはマルチンゲールでSは停止時刻なので、E[ M(T) | F(S) ]=M(S)となるのです。したがって、
2 E[ M(S)M(T) | F(S)] ＝ 2M(S) E[ M(T) | F(S) ] ＝ 2M(S)^2
です。あとは書かれている通りに証明できます。

> E[M(T)^2|F(S)] ＝　M(T)^2 がいえるのでしょうか？
> 同じように、なぜ　E[M(S)^2 |F(S)]　＝ M(S)^2　が成り立つのでし
> ょうか

とありますが、こんなのはまったく正しくありません。どちらも成り立ちません！M^2は一般にマルチンゲールにはなりません。明らかに期待値が増大しますからね。それから、M(S)がF(S)に独立だなんてとんでもない話です。M(T)がF(S)に独立というのも正しくないです。

余計なお世話かも知れませんが、独立性、条件付期待値の性質あたりをもう一度復習されてみてはどうかとも思います。

お礼

"2 E[ M(S)M(T) | F(S)] ＝ 2M(S) E[ M(T) | F(S) ]の理由がまず変です。M(S)は停止時刻までの情報（σ-加法族）F(S)に関して可測ですから、したがって条件付期待値の外にでるのです。
それからMはマルチンゲールでSは停止時刻なので、E[ M(T) | F(S) ]=M(S)となるのです。したがって、
2 E[ M(S)M(T) | F(S)] ＝ 2M(S) E[ M(T) | F(S) ] ＝ 2M(S)^2
です。"
有難うございます。上の部分に関しては、自分の考えていたのと同じでしたが、自分の言葉・用語の使い方、まちがっていました。すみません。それでは、３から４への式はどうして成り立つのでしょうか？どうやって、M(T)^2、 M(S)^2がくるのでしょうか？

回答No.2

adinat

(2)から(3)、あるいは(3)から(2)への変形は理解できますか？それと同じ操作をしているだけです。よく考えてみてください。