金融工学

質問

こんばんは。金融工学について、2点ほど不明な点があり、質問させて頂きたいと思います。

1つ目は、友人が昔金融工学を学んだ際のノートに、
Xn→X(lin L^2)【ただしn→∞】⇒E(Xn)→E(X)(lin R)【ただしn→∞】

を示せ。
といった問題があったのですが、一体どうすれば良いのか分かりません。
友人も、大分昔のことなのであまり覚えてないとのことで・・・。
できれば解説をお願いします。

2つ目は、参考にしている図書に、伊藤積分過程の証明で
E[|F(t)|] ＝ 0 の説明のため以下のような記述がありました。
E[|F(t)|] ＝ E[|∫_0^t f(s)dB(s)|]
≦ E[∫_0^t |f(s)dB(s)|]
＝ 0
dB(s)が負の場合が存在すると思うのですが、その場合成立しないように思います。
実際はどうなのでしょうか？

どちらか一つだけでも分かる方がいらっしゃいましたら、
どうかご教授のほどお願い致します。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

僕もlinなる記号は初めてみましたが、おそらく limit in の意味でしょう。だから lin L^2 はL^2収束の意味で、ということだと思います。確率変数はL^2収束するならばL^1収束するのです。だからE(Xn)→E(X)です。もう少し詳しくやるとL^2収束の定義から
E(|Xn-X|^2)→0 (lin R)
なんですが、ヘルダーの不等式より
E(|Xn-X|)=E(1・|Xn-X|)≦√{E(|Xn-X|^2)}√E(1)
となります。だからE(|Xn-X|)→0です。これはようするにXn→X (lin L^1)ということを言っています。あとは
|E(Xn)-E(X)|≦E(|Xn-X|)→0
からE(Xn)→E(X)がわかるかと思います。

後半の主張に関してですが、一般にE[|F(t)|]=0は正しくないです。これは要するにF(t)=0を示しているわけで、普通はそのようなことは起こりません。絶対値がついていないE[F(t)]なら正しい主張になりますが。たとえばf(s)=1（恒等過程）とすればE[|F(t)|]=E[|B(t)|]となり、ブラウン運動の絶対値の期待値は（計算にあんまり自信ないですが）√(2t/π)になると思うので、やはり0にはなりません。何か特別なf（たとえばf=0とか）であるか、あるいは絶対値がついていないかのいずれかの間違いなのかなぁと思います。

お礼

なるほど・・・言われてみるとなるほど。という感じですね。

毎回毎回詳しい説明をありがとうございます。
大変ためになります。
どうもありがとうございました。

回答No.1

onakyuu

(lin L^2)という書き方は見たこと無いのですが、
おそらく、Xn,Xの密度関数をそれぞれp_n(x),p(x)
とすると
∫(p_n(x)-p(x))^2→0 (n→0)
という意味でしょう。なのでこの式から
∫xp_n(x)-xp(x)→0 (n→0)
を導くとよいのす。
すなわち極限の定義から
∫(p_n(x)-p(x))^2< δ1
∫xp_n(x)-xp(x)< δ2
としてδ2をδ１で与えることができればよい。

2番目は確かにそのとおりで、どこか間違っているよう
に思えます。

補足

何故かお礼の方に書き込みができないので・・・

素早いご返答、ありがとうございます。
やはりlinという書き方はありませんよね・・・。

どうもありがとうございました！