確率積分

質問

次の条件と式がありますが、どうして、この式が成り立っていくのかわかりません。
M(t)=N(t)-Integral[ λ(s)ds,{s,0,t}] （マルチンゲール）

E[ (　Integral[　v(u)dM(u),　{s,t}　])^2 ｜　F(s)　] (1)
=E[ Integral[　v(u)^2 * d[M](u),　{s,t}　] ｜　F(s)　]　(2)
=E[ Integral[　v(u)^2 * d<M>(u),　{s,t}　] ｜　F(s)　]　　(3)
E[ Integral[　v(u)^2 * λ(u)du,　{s,t}　] ｜　F(s)　]　　　(4)

なぜ、(2)から(3)に行く時、なぜ、d[M](u)＝d＜M＞(u) といえるのでしょうか？この定理、公式、定義は何なのでしょうか？

また、(3)から(4)へもなぜそうなるのかわかりません。

宜しければ、ご教授ください。

注：Integral = 積分
　Integral[ xdx,{s,t} ] = (t^2 - s^2) / 2　を表します

回答No.1

adinat

[M]の定義がが分かりません。あまり一般的な記号ではないものと思われます。だから（1）→（2）および（2）→（3）には説明がつけられませんが、一般的に（1）→（3）が成り立つというのは有名な話です。ですが、自明ではなくて、むしろ確率積分の当然成り立つべき等式というべきもので、きちんと証明するには確率過程を単過程近似して示すのが常套手段だと思われます。

（3）から（4）については、これはN(t)とλ(t)が何かよく分からないのでなんとも言えませんが、マルチンゲールM(t)について成り立つ式、
E[(M(t)-M(s))^2|F(s)]=E[M(t)^2-M(s)^2|F(s)]
を用いれば出てくるものと思います。N(t)がポアソン過程や複合ポアソン過程であれば非常に容易に出来ます。別のジャンプタイプ過程の場合はもしかしたらもう少し議論がいるかも知れません。

補足

回答ありがとうございます。且、説明不足で申し訳ありません。N(t)はポアソン過程です。そこで、E[(M(t)-M(s))^2|F(s)]=E[M(t)^2-M(s)^2|F(s)]までは理解してました。しかし、adinat様が言われてる、”N(t)がポアソン過程や複合ポアソン過程であれば非常に容易に出来ます”がよくわかりません。N(t）がポアソンの場合どの様なことが分かるのでしょうか？もし、お時間が許せばご教授ください。