ブラウン運動、マルチンゲール

質問

B(t)をブラウン運動とした場合、Exp(cB(t) -c^2*t/2)
がマルチンゲールになることは分かります。

問題は、Ｍ＝Ｅｘｐ（θ*Ｂ（ｔ）－（θ*ｃ－λ）* t)
がマルチンゲールとなるようなθを求めよという事で、
上に先程述べたものがマールチンゲールであることを用いて、θをもとめればいいのですが、回答には　[B(t),B(t)] = t であるため、Ｍは、θ*c - λ　＝　－θ＾２/２　であればマルチンゲールであるといってるのですが......

どのようにしたら、[B(t),B(t)]=t が　Ｍがマルチンゲールになる理由がθ*c - λ　＝　－θ＾２/２であるということに導かれるのでしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

[B(t),B(t)]=tの左辺の記号の意味が少し不明ですが、B(t)の2次変動だとしても、B(t)の分散だとしても、いずれにせよ、tです。そして、
E[exp{ｃB(t)}]=1/√(2πt)∫e^{-cx}e^{-x^2/2t}dx
　=e^{tc^2}/√(2πt)∫e^{-(x-tc)^2/(2t)}dx
　=e^{tc^2/2}
です。もしM=M(t)がマルチンゲールならE[M(t)]=E[M(0)]でなくてはなりません。マルチンゲールになることが分かります、というところは似たような論法で示されているでしょう。

ところがM(0)=e^0=1ですから、E[M(t)]=e^{tθ^2/2}e^{-(θc-λ)t}より、θ^2/2=θc-λであることが必要と分かります。またこれが成り立つときは、既に示されているように、マルチンゲールになるので、十分性もOKです。

この問題を解く大事なポイントは、B(t)の分散がtであることを使ってE[e^{cB(t)}]を求めることにあります。したがって、“[B(t),B(t)]=t がＭがマルチンゲールになる理由がθc-λ＝θ^2/2である”ということになるのだと思われます。あと些細なことですが、僕の計算ミスでなければ、右辺は-θ^2/2ではなく、θ^2/2だと思います。もしミスがあったとしてもご容赦ください。おおむね、指数型マルチンゲールであることはこういった方法で証明します（実際は時刻0ではなく、時刻sでの条件付期待値を出しますよね）。

お礼

ありがとうございます。大変分かりやすく理解できました。