整数に関する証明

質問

有理数体Ｑの元で,Ｑの部分環Ｚ上整なものはＺの元であることは知っていましたが、証明できずに困っています。
頭がよければ中学生でも理解できそうなことで躓いてしまい、恥ずかしいけど質問します。

s/t∈Ｑ（s, t は互いに素な整数）がＺ[x]に含まれるモニック多項式,
f(x) = x^n + (a_1)x^(n-1) + ・・・ + a_n の零点とする。
f(s/t) = (s/t)^n + (a_1)(s/t)^(n-1) + ・・・ + a_n = 0

s, t が互いに素なのを利用して t = ±１を証明すればいいのですが、その証明ができません。
初等整数論以前の初歩的質問ですが、アドバイスをお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

分母を払って、s^n = -{ (a_1)ts^(n-1) + … + (a_n)t^n }.
右辺は t で割りきれ、左辺は t と素数である。

お礼

アドバイス、ありがとうございました。
書いてくださった証明を読んで「あっ！」と叫びました。
感謝と同時に、今は自分の馬鹿さ加減に意気消沈中です。

回答No.2

alice_44

ミスプリ：

左辺は t と素である。

お礼

これからもこんな初歩的質問をするかもしれませんが、よろしくお願いします。