証明問題について大至急教えて下さい。

質問

フェルミーディラックの分布関数において、任意の温度Tで、f(E, T)は点(E=Ef, f=1/2)に関して対称であることを証明せよ。

と言う問題がどうしても分りません。

すみませんが、どなたか教えて頂けますでしょうか。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

フェルミーディラックの分布関数をｆ(E、T)とすると

f(E,T) = 1/｛ 1 + exp((E-Ef)/kT)｝

と表されます。
この関数は、次のURLの図の様になります。
http://okawa-denshi.jp/techdoc/3-1-6Ferumi.htm

f(E, T)は点(E=Ef, f=1/2)に関して対称であることはこの図から
解ります。

証明となると、次の様なものでしょうか。

f(Ef,T)= 1/｛ 1 + exp((Ef-Ef)/kT)｝= 1/2
であるから、
フェルミエネルギEfから±ΔE離れたエネルギ値での
f(E,T)を反転したものが同値である事を示せばよい。
つまり、
f(Ef+ΔE,T)= 1/｛ 1 + exp(ΔE/kT)｝
f(Ef-ΔE,T)= 1/｛ 1 + exp(-ΔE/kT)｝
1-f(Ef+ΔE,T)= {1+exp(ΔE/kT)-1}/{1+exp(ΔE/kT)}
　　　　　　　 = 1/｛exp(-ΔE/kT)+1}
　　　　　　　 = f(Ef-ΔE,T)
よって
f(E,T)はE=Ef（f(E,T)=1/2)の点に対して対称である。