ニュートン法に関する証明問題

質問

今、訳有って大学受験の問題を解いています。
某国立大の予想問題か何かで、解答はありません。
一応自分なりに解いてみたのですが、あまり良い解法とは思えません。
そこで、私の証明が正しいのかチェックしてもらうのと、
できれば、よりスマートな解法を教えて頂きたいです。

以下、問題と証明。
f(x) = x^3 - 3x - 5 とする。
方程式 f(x) = 0 は 2 < x < 3 にただ一つの実数解を持つ。この実数解を a とする。
（これは(1)の問題でして、すでにわかりました。）

(2) a <t≦3とし、点(t,f(t))における曲線y = f(x)の接線とx軸との交点を(s,0)とするとき、
0 < s-a < (t-a)/3 を示せ。
(左側の不等式は簡単なので、右側の不等式の証明だけ書きます。)

(証)
x=t における接線 g(x) = f'(t)(x-t) + f(t) において、g( (t-a)/3+a ) > 0を示せば、
g(s) = 0 とg(x)が単調増加であることから、s < (t-a)/3+a がいえ、
すなわち、s-a < (t-a)/3 がいえるので、これを示す。
g(x)の線形性より --------(1)
g( (t-a)/3+a ) = g( (t+2a)/3 ) = { g(t) + 2g(a) }/3

ここで、h(t) = g(t) + 2g(a) とおく。
h(t) = f(t) + 2{ f '(t)(a-t) + f(t) }
= 3f(t) + 2f '(t)(a-t)
h'(t) = 3f '(t) +2f ''(t)(a-t) - 2f '(t)
= f '(t) + 2f ''(t)(a-t)
= 3t^2 - 3 + 12t(a-t)　　　　　( f '(t) = 3(t^2-1), f ''(t) = 6t )
= -9t^2 +12at - 3

h'(t) は t = 2a/3 を軸とする放物線であり、 a <t≦3で単調減少。
また、h'(a) = 3(a^2-1) > 0, h'(3) = 36a - 84 = 36(a - 7/3) < 0
(∵ f( 7/3) > 0 より、a < 7/3 ) ------(2)
よって、a <t≦3 で min{ h(t) } = min{ h(a), h(3) } (増減表より)

ここで、h(a) = 0, h(3) = 48a -105 = 48(a - 35/16) > 0 である。
( ∵ f(35/16) < 0 より、 a > 35/16 ) ------(3)

ゆえに、h(t) > min{ h(a), h(3) } = h(a) = 0 より　
g( (t-a)/3+a ) = h(t)/3 > 0
証明終わり。

aの処理が大変で、かれこれ５時間は考えました。
かなり端折って書いているので、実際に試験場では書けないと思います。（受験生ではないですが。）
特に、(1)は初めて使いましたし、(2)と(3)はその場しのぎという感じなのですが・・・。
高校生の範囲で、もっとわかりやすい証明法は無いでしょうか。
皆様の御知恵を拝借出来ればと思います。
証明を書くのが煩わしいければ、方針だけでも教えて頂ければと思います。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#50894 · ベストアンサー

お付き合いのついでに、No.1とNo.2を補足し
別解を作らせて頂きました。

>一般論として、
>a_(n+1)=a_n-f(a_n)/f'(a_n)
>a_1=3

tとsとの関係は、
s=t-f(t)/f'(t)
かつ
f(a)=0
から、

s-a=(t-a)-f(t)/f'(t)
=(t-a)-{f(t)-f(a)}/f'(t)［∵f(a)=0］
=(1/3){(t-a)^2}(2t+a)/(t^2-1)［←f(t)=t^3-3t-5を直接代入］

従って、
(s-a)/(t-a)=(1/3)(t-a)(2t+a)/(t^2-1)…(1)
であり、

(1/3)(t-a)(2t+a)/(t^2-1)<1/3［a<t≦3］
⇔t^2-at+1-a^2<0［a<t≦3］…(2)

h(t)=t^2-at+1-a^2に対し、
h'(t)=2t-a>0からh(t)はa<t≦3で単調増加であり、
h(3)=9-3a+1-a^2=12.25-(a+1.5)^2>12.25-(2+1.5)^2=0
よって、式(2)は成立する。

(2)から(1)をたどると
(s-a)/(t-a)<(1/3)
が成立する。［a<t≦3］

お礼

回答ありがとうございます。

>s-a=(t-a)-f(t)/f'(t)
>=(t-a)-{f(t)-f(a)}/f'(t)［∵f(a)=0］
>=(1/3){(t-a)^2}(2t+a)/(t^2-1)
いやはや感服いたしました。
このような変形をするのですね。
私自身 s < (t-a)/3+a を示すのは、なんとも不恰好だったので、
直接 s-a < (t-a)/3 を示したいとは思っていたのですが、
なかなかうまくいかず無理矢理な証明でした。

>従って、
>(s-a)/(t-a)=(1/3)(t-a)(2t+a)/(t^2-1)…(1)
>であり、
この変形をした後の流れは、高校生にとってもごく普通の流れだと思いました。
しかし、こういった流れに持ち込むのがすごいですね。
やはり、f(a)=0をうまく利用するところがポイントなのでしょうね。

とても参考になりました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#50894

No.1の件
失礼！

aの正体が不明だと思っていたら、
>方程式 f(x) = 0 は 2 < x < 3 にただ一つの実数解を持つ。この実数解を a とする。
でありました。

この事例では、区間[2,3]において、
f''(x)=6x>0，f(2)=-3<0，f(3)=13>0だから、
一般論として、
a_(n+1)=a_n-f(a_n)/f'(a_n)
a_1=3

とおいて、{a_n}はaに収束します。

>よりスマートな解法を…
ニュートン法は、見かけは簡潔に見えて、使う場合は楽に感じますが、証明は以外にてこずりです。
この場合、f(x)の形を眺めても、うなずけますが、テクニックと云うよりも、
あなたの証明が妥当でしょう。正しいと思います。

回答No.1

noname#50894

>(2) a <t≦3とし、点(t,f(t))における曲線y = f(x)の接線とx軸との交点を(s,0)とするとき、
3(t^2-1)s=2t^3+5…(a)
の関係が成立しますね。

■例えば、a=1の場合は、

1<t≦3でのt=2における値を比較すると
式(a)からs(t=2)=7/3だから
s(t=2)-a=4/3
一方
t-a=1

0<s-a<(t-a)/3 が成立しないようですが？