直積位相定義が2個の直積の場合に合致してるか?

質問

直積位相の定義についての質問です。

[定義ア]位相空間(X_λ,T_λ) (λ∈Λ(Λは任意の添数集合))と射影fが与えられていて,直積集合P:=ΠX_λとおく。
この時,X_λ⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。
次に和集合B:=∪S_λと置き,
この時,このBから生成される位相{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}
を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。

が直積位相の定義だと思います。

[定義イ]2個の直積(X_1,T_1)×(X_2,T_2)の場合の直積位相は{∪[g∈G]g ;G⊂T_1×T_2}と載ってました。

[定義ウ]集合Xの部分集合族Bが以下の条件を満たすときBをXの開基という
(1)BはXを被覆する
(2)任意のb1,b2∈Bおよび任意のx∈b1∩b2に対して、あるb∈Bが存在して、x∈b⊂b1∩b2となる。

[定義エ] Bを集合Xの開基とする時,{U∈2^X;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}をBによって生成される位相という。

そこで定義アの直積位相定義が2個の直積の場合に定義イと合致してるか調べています。

まずS_1={f_1^-1(t_1);t_1∈T_1},S_2={f_2^-1(t_2);t_2∈T_2}でB:=S_1∪S_2と置く。

そしてこのBによって生成される位相は{U∈2^(X_1×X_2);∀x∈U,∃b∈B such that
x∈b⊂U}:=L
これが{∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2}:=Mに一致してるか吟味してみます。
(i) L⊂Mを示す。
∀U∈Lを採ると,∀x∈Uに対してx∈b⊂Uなるb∈Bが存在する。
Bの定義よりb={f_1^-1(t_1),f_2^-1(t_2)}という集合になっています。
そこで結局の所,Uは常にbを含んでいなければならない訳ですからU=∪[b∈B']b (但しB'⊂B)…(1)となっていますよね。
所でBの元達はというとB:=S_1∪S_2な訳ですから(1)は
U={(t_1×x_2)∪(x_1×t_2);x_1⊂X_1,x_2⊂X_2}という形になってますよね。
ここでx_1やx_2は必ずしもT_1やT_2の元とは限らないわけですよね。
なのでこのUは∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2には含まれませんよね。

どうすればLとMが合致しますでしょうか?

それとも直積位相は2個の直積集合の場合と3個以上の直積集合の場合とでのそれぞれ直積位相の概念は異なるのでしょうか?

回答No.2

kabaokaba

ごめん．一個見逃してた．

================
次に和集合B:=∪S_λと置き,
この時,このBから生成される位相
{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}・・・ここ！
を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。
=================
「ここ！」って書いたとこが違う．
こんな定義どっかに書いてある？
そもそも「ここ！」の集合系は開集合系になれるかな？
位相の定義を確かめた？
＃たとえば，R^2で考えて
＃U1=(0,1)xR，U2=Rx(0,1)．さて，U1∩U2=(0,1)x(0,1)は？

「Bから生成される位相」ってのは
「ここ！」のような集合ではなくって
「Bから生成される位相」ってのは
Bの元の有限個の共通部分，有限個でなくてもいい個数の和集合
を全部集めたものを開集合系とするものをいうわけ．

加えて，Bは開基にはなってないことに注意．
定義ウの(2)を満たしてないでしょう？
例えば，R^2で(0,1)xRとRx(0,1)の共通部分は
(0,1)x(0,1)だが，このなかの例えば(1/2,1/2)なんてのを
含むBの要素は存在しない．
だから，定義エの形ではBは位相を生成できない

お礼

> ================
> 次に和集合B:=∪S_λと置き,
> この時,このBから生成される位相
> {U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}・・・ここ！
> を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。
> =================
> 「ここ！」って書いたとこが違う．
> こんな定義どっかに書いてある？

すいません。間違えてたようです。

> そもそも「ここ！」の集合系は開集合系になれるかな？
> 位相の定義を確かめた？

φ∈{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}を満たしませんね。

> 「Bから生成される位相」ってのは
> 「ここ！」のような集合ではなくって
> 「Bから生成される位相」ってのは
> Bの元の有限個の共通部分，有限個でなくてもいい個数の和集合
> を全部集めたものを開集合系とするものをいうわけ．

なるほど。{∩[i=1..n]b_n;b_n∈B}∪{∪[λ∈Λ]b_λ;b_λ∈B}をBから生成された位相と呼ぶのですね。
大変参考になります。

> 加えて，Bは開基にはなってないことに注意．
> 定義ウの(2)を満たしてないでしょう？
> 例えば，R^2で(0,1)xRとRx(0,1)の共通部分は
> (0,1)x(0,1)だが，このなかの例えば(1/2,1/2)なんてのを
> 含むBの要素は存在しない．
> だから，定義エの形ではBは位相を生成できない

仰るとおりですね。

書き改めると
[定義エ] Bを集合Xの開基とする時,{∩[i=1..n]b_n;b_n∈B}∪{∪[λ∈Λ]b_λ;b_λ∈B}をBによって生成される位相という。

[定義ア]位相空間(X_λ,T_λ) (λ∈Λ(Λは任意の添数集合))と射影fが与えられていて,直積集合P:=ΠX_λとおく。
この時,X_λ⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。
次に和集合B:=∪S_λと置き,
この時,このBから生成される位相,{∩[i=1..n]b_n;b_n∈B}∪{∪[λ∈Λ]b_λ;b_λ∈B}
を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。

なのですね。

回答No.1

kabaokaba

端的にいってしまえば
「一般の場合を二個にすればいいだけで，概念としては同じ」
でる．

>が直積位相の定義だと思います。
違う．
==========
この時,X_λ⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。
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そんなわけないでしょ．
射影の逆像だから，これはPの部分集合．
そもそも(X_λ,T_λ)には位相が入ってるし
この各成分の位相から直積の位相を定めるのだからおかしい．
この一文がなければ正しい．S_λの定義もOK

それと
>[定義イ]2個の直積(X_1,T_1)×(X_2,T_2)の場合の直積位相は{∪[g∈G]g ;G⊂T_1×T_2}と載ってました。

この定義で，∪[g∈G]g とわざわざ和集合をとってる意味は分かる？

>U={(t_1×x_2)∪(x_1×t_2);x_1⊂X_1,x_2⊂X_2}という形になってますよね。
ここが違う．射影というものの定義をしっかり考えること．
S_λってのは結局，f_λ^{-1} (t_λ) と他の成分の全体の積になってるということ．

わかりにくかったら，直積は普通の位相のR^2で考えること
p1:R^2->R (x,y)->x
p2:R^2->R (x,y)->y
p1^{-1}(x) = {x} x R
p2^{-1}(y )= R x {y}
なんだから，これを足がかりにまずR^2という特殊な場合で
一般の直積位相を位相を理解して，
それから抽象的な一般論を考えると
ほとんど自明な拡張であることが分かる．

お礼

ありがとうございます。

> ==========
> この時,X_λ⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。
> =======

「X_λ⊃」部分が間違いでした。
P⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λとしなければいけませんね。

> S_λってのは結局，f_λ^{-1} (t_λ) と他の成分の全体の積になってるということ．

納得です。

> わかりにくかったら，直積は普通の位相のR^2で考えること
:
> ほとんど自明な拡張であることが分かる．

ありがとうございます。

[定義ア]位相空間(X_λ,T_λ) (λ∈Λ(Λは任意の添数集合))と射影fが与えられていて,直積集合P:=ΠX_λとおく。
この時,P⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。
次に和集合B:=∪S_λと置き,
この時,このBから生成される位相{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}
を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。

が直積位相の定義なのですね。

> わかりにくかったら，直積は普通の位相のR^2で考えること
:
> ほとんど自明な拡張であることが分かる．

S_1=p1^-1(T_1)={t_1×r; t_1∈T_1,r⊂R}⊂2^(R×R)
S_2=p2^-1(T_2)={r'×t_2; t_2∈T_2,r'⊂R}⊂2^(R×R)

という形をしていて
B=S_1∪S_2={t_1×t_2,t_1×r',r×t_2,r×r',…} …(1)となるのですね。
よってこのBから生成される位相は{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}で
{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}={∪[b∈B']b;B'⊂B}:=L
となりますよね。
(1)と照らし合わせると,{∪[b∈B']b;B'⊂B}の元は開集合だけの直積の和集合にはなってませんよね。
それでこのLは{∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2}:=Mに一致しないのですが…

何処を間違ってますでしょうか?

補足

わかりました。

位相空間(X_λ,T_λ) (λ∈Λは任意の添数集合)　とする時, {∪[u∈U]u;U⊂ΠT_λ}が直積集合Π(X_λ,T_λ)の直積位相というのですね。
これなら分かり易いです。