位相（閉包の性質について） 初心者です。

質問

以下の問題の証明がわかりません。

問.位相空間（X,T）の2つの部分集合A、Bについて、
　 Aが開集合のとき、
　　　　　　　　　　A∧B￣　⊂（A∧B）￣　
　が成り立つことを証明せよ。

解答として、以下の解答例があったのですが、

ｘ∈A∧B￣ とし、A’をｘを含む任意の開集合とすれば、
　A∧A'もｘを含む開集合で、
　ｘ∈B￣であるためには （A∧A'）∧B≠Φ でなければならない。
　すなわち、A'∧（A∧B）≠Φ である。
　したがって、　　
　　　　　　　ｘ∈（A∧B）￣

3行目と4行目の
「　ｘ∈B￣であるためには （A∧A'）∧B≠Φ でなければならない。
　すなわち、A'∧（A∧B）≠Φ である。」
がなぜなのかわかりません。

以前の質問にも同じ問題に対して質問されている方がいらっしゃり、その回答では、

「「x∈B￣⇒（A∧A'）∧B≠Φ 」で、つまり閉包の性質「x∈B￣⇔xの任意の開近傍Uに対してB∧U≠Φ」であるからである。

となっていたのですが、
なぜなのかわかりません。
そもそもこの閉包の性質の意味が理解できません。
どなたか、詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.6

koko_u_ · ベストアンサー

>Ｂの閉包は、集合Ｂということではないのですか？
そういった疑問が湧いた場合は、まずは簡単な例をもって考察すると良い。

例えば開区間 U = { x ∈ R | -1 < x < 1 } を考えると良いだろう。
すると 1 ∈ R が U の閉包に含まれているか「確認」したくなりますね。

それが出来れば、元の問題を解くことも容易いだろう。

補足

＞例えば開区間 Ｕ={x∈Ｒ|-1<x<1}を考えると良いだろう。
＞すると1∈ＲがＵの閉包に含まれているか「確認」したくなりますね。

開区間Ｕを含む閉集合（区間）Ｘについて、ｘ∈Ｘ
となるｘの集合（区間）がＵの閉包になる。
したがって、例えば、
-5≦ｘ≦1　、-1≦ｘ≦5などは、Ｕを含む閉集合の一例になり、
それら全体の集合を考えると
Ｕの閉包は、
Ｕ￣=｛x|-1≦x≦1｝
になる。。。？
ただ、このことを証明するために、近傍を利用した方法等を考えてみたのですが、うまくできません。。

簡単な例を自分で考察して、一つ一つ、それがあっているかどうかの確信を持ちたいと考えています。
非常にお手数、低レベルな質問で恐縮なのですが、もう少しだけお付き合い願えますでしょうか。すみません。

回答No.5

koko_u_

もう諦めた。

（集合Ｂを含む閉集合群の共通部分）= ∩{ X | X 閉集合かつ B ⊆ X }

だから、x ∈ （集合Ｂを含む閉集合群の共通部分）を「バラす」と

B を含むすべての閉集合 X について x ∈ X

閉集合の補集合が開集合だから、もうできた。

補足

ｘ∈（Ｂの閉包）が、
「Ｂを含むすべての閉集合Ｘについてx∈Ｘ」
についてわかりました。

しかし、ここで新たな疑問が生まれてしまいました。

Ｂの閉包は、「Ｂを含むすべての閉集合の共通部分」であるということは、結局
Ｂの閉包は、集合Ｂということではないのですか？

ということは、Ｂの閉包（もし、Ｂ￣＝ＢであればＢ）は閉集合ということですか？

回答No.4

koko_u_

>ｘ∈（集合Ｂを含む閉集合群の共通部分）
>でしょうか？
ちがうって。
全然「共通部分」を言い直せてないでしょう。

補足

x∈（すべての"集合Ｂを含む閉集合"の元である元全体の集合）

という言い方でいいでしょうか？

回答No.3

koko_u_

>ｘ∈（集合Bとその他の様々な閉集合の共通部分）
>でしょうか？
ちがいます。

補足

ｘ∈（集合Ｂを含む閉集合群の共通部分）
でしょうか？

回答No.2

koko_u_

>ｘ∈（Bの閉集合全体の共通集合）
>でしょうか？
Bの閉集合じゃなくて、Bを含む閉集合ね。
んで、次は「共通集合」のところを言い直そうか。

補足

返答ありがとうございます。
お返事が遅くなって申し訳ありません。

ｘ∈（Bの閉包）の定義
↓
ｘ∈（Bを含む閉集合全体の共通集合）
↓
ｘ∈（集合Bとその他の様々な閉集合の共通部分）

でしょうか？

回答No.1

koko_u_

位相空間の基本なので、ひとつずつ定義を書き下して、自分で考える必要があります。

というわけで、まずは x ∈ (B の閉包) の定義からいってみようか。

補足

返答ありがとうございます。

ｘ∈（Bの閉包）の定義

ｘ∈（Bの閉集合全体の共通集合）
でしょうか？