直積位相

質問

Ｘ、Ｙを位相空間とする。
『Ｗ⊂Ｘ×ＹがＸ×Ｙの開集合⇔任意の(ｘ，ｙ)∈Ｗに対して、ｘ∈ＸのＸにおける開近傍Ｕ⊂Ｘ、ｙ∈ＹのＹにおける開近傍Ｖ⊂ＹでＵ×Ｖ⊂Ｗとなるものが取れる』
と定義することにより、Ｘ×Ｙは位相空間になる事を示せ。

という問題です。
Ｘ、Ｙが位相空間なので、それぞれの位相をＯ(Ｘ)、Ｏ(Ｙ)としてＸ×Ｙの位相をＯ(Ｘ×Ｙ)=｛Ｕλ×Ｖλ；Ｕλ∈Ｏ（Ｘ）、Ｖλ∈Ｏ（Ｙ）｝とおいて証明しようとしたのですが、これでは上記の定義が満たされていないと注意され詰まってしましました。
どなたかアドバイス（もしくは証明）していただけませんでしょうか？

回答No.1

handarin · ベストアンサー

Ｏ(Ｘ×Ｙ)の定義は上に書いてあるとおりですよ、つまり
Ｏ(Ｘ×Ｙ)＝｛Ｗ⊂Ｘ×Ｙ：任意の(ｘ，ｙ)∈Ｗに対して（中略）となるものが取れる｝
実はもうちょっと一般的な表現があるのですが、証明にはこの定義を用います。

位相空間の条件３つ
(i)Φ、Ｘ×Ｙが開集合
(ii)（無限個の）開集合の合併集合は開集合
(iii)二つの開集合の共通部分は開集合
を満たすことが分かればＯＫ。(i)は省略

(ii)の証明
Ｗ[i]∈Ｏ（Ｘ×Ｙ）(i∈Ｉ(Ｉは添え字集合))に対して
∪[i∈I]Ｗ[i]が開集合であることを示せす。
(x,y)∈∪[i∈I]Ｗ[i]とすると、あるi'∈Iに対して
(x,y)∈Ｗ[i']である
Ｗ[i']は開集合なので、x∈Ｕ,y∈ＶとなるＵ,Ｖ（：ＸおよびＹの開集合）で
Ｕ×Ｖ⊂Ｗ[i']となるものが取れる
このときＵ×Ｖ⊂∪[i∈I]Ｗ[i]でもあるので、
∪[i∈I]Ｗ[i]が開集合であることが示せた。

(iii)略証
Ｗ[1]∩Ｗ[2]で同じようなことをやる。
(x,y)∈Ｗ[1]∩Ｗ[2]ならば(x,y)∈Ｗ[1]かつ(x,y)∈Ｗ[2]なので
x∈Ｕ[1],y∈Ｖ[1]かつx∈Ｕ[2],y∈Ｖ[2]なる開集合Ｕ[1]Ｕ[2]Ｖ[1]Ｖ[2]がとれる
このときＵ＝Ｕ[1]∩Ｕ[2]、Ｖ＝Ｖ[1]∩Ｖ[2]もＸおよびＹの開集合で
(x,y)∈Ｕ×Ｖであり、Ｕ×Ｖ⊂Ｗ[1]∩Ｗ[2]であることが分かればＯＫ

お礼

お礼が遅くなりました。
ありがとうございます。
参考にさせていただきました。
(x,y)をどこから持ってくるかが大事ですね。