位相と連続

質問

何度か、このサイトで位相に関して質問をしている初学者です。
おかげさまをもちまして、理解が進んだと感じています。

さて位相の言葉を使うと、

「位相空間Yの開集合Vのfによる逆写像 f^{-1}(V)=UがXの開集合である場合、f : X→Y は連続」

などというと思いますが、この表現と通常のイメージでいうところの関数の連続/不連続とを対応させて理解を進めたいと思っています。

以下、1次元Euclid空間 X から 1次元Euclid空間 Y への写像 f : X→Yを考えます。

１）x=0でジャンプする関数（x=0で定義されている） ： f(x)=x (x <= 0), f(x)=x+1 (x>0)
この場合、たとえば (1/2, 3/2) のf による逆写像は
f^{-1}((1/2, 3/2)) = [0, 1/2)
となります。これは X の開集合ではないので、f(x)は不連続。

２）x=0でジャンプする関数（x=0で未定義）： f(x)=x (x < 0), f(x)=x+1 (x>0)

【質問】
●（１）の考え方、論証はこれで正しいでしょうか。
●（２）を（１）のと同様の論理で考える場合、
「Yの下位集合 *** の f による逆写像 f^{-1}(***) が Xにおける開集合でないので、f は不連続」
となると思いますが、この場合 *** はどういった集合になり、どういう理屈で逆写像はXの開集合ではない、と結論付けられるのでしょうか。
（x=0で定義されていないので、Xの位相がいわゆる1次元Euclid位相ではない？）

以上、ご教示よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

「連続関数」とは「グラフがつながっている関数」というのは
「中間値の定理」の帰結にすぎません．

ですので，一般の場合は「つながっている」というのは成り立ちません．

一般の位相空間の連続写像ってのは
「近くにあるものは近くのものに由来している」
というようなイメージでしょうか
そしてこの場合「近くのもの」というのは
「同じ開集合に入る」というような感じ．

「εδでのR全体で連続な関数の定義」と
「Rを位相空間とみたときの位相空間での連続写像の定義」が
同じであることの証明考えたりするといいかもしれません

この手の話，志賀浩二「位相への30講」（朝倉書店）には
かなり細かく（その分厳密性は減りますが）でてます．
＃この本，なんだかんだでウリゾーンとかまででてるし
＃道を概観するにはいいと思う

お礼

回答をありがとうございました。

まだまだ位相空間論の抽象的なイメージを無意識に拒絶しているようです。

「位相への30講」を読んでみたいと思います。

回答No.2

BO-BO-keshi

こんにちは。はじめまして。

わたしが位相数学をはじめて学んだときも、あまりにも抽象的すぎて理解し難かったのをよく覚えています。
理解し難いというか、何のためにそんな事を考えるのか、とても不思議だったのを覚えています。

さて、以下はご質問に対する回答です。

まず、(2)の関数は連続関数です。連続の定義に従って確認すると連続関数となります。

すなわち、「任意の開集合の逆像は開集合になる」ことが確認できれば、位相空間における連続の定義と不整合がなくなります。

例えば(1/2,3/2)の逆像は、(0,1/2)で開集合となります。
よろしければ、他の開集合でも確認してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。

（２）が連続関数であるというのは驚きでした。
逆像が開集合、、、というロジックではなるほど連続だというのはわかるのですが、
素朴なイメージ（グラフが繋がっていない！）から、なかなかピンと来ません。

まだまだ勉強不足のようです。

回答No.1

rinkun

１．逆写像じゃなく「逆像」ですよね。
あと
f^{-1}((1/2,3/2))=(0,1/2)
となり、開集合です。
この例では反例になりませんよ。
f^{-1}((-1/2,1/2))=(-1/2,0]
を使うべきでしょう。
２．こちらは不連続な点が定義域内にないので連続になるのでは？

お礼

お礼を書く前に補足を書いてしまいました。
大変失礼しました。

回答ありがとうございました。

補足

早速の回答をありがとうございます。

「逆像」ですね。なるほど。

（１）に関してはご指摘ありがとうございました。
x=0が入っている領域を間違えてしまいました。
f^{-1}((-1/2,1/2))=(-1/2,0]でXの開集合でない、ということで不連続、ということです。

（２）はちょっとピンと来ません。この関数は連続関数になるのですか。。。

奥が深いですね。