絶対値が入る 証明の問題です。

質問

２つの複素数、α，βに対して、｜αβ｜＝｜α｜｜β｜が成り立つことを証明せよ。

※“｜”は絶対値の棒を表しています。

回答No.7

branigan · ベストアンサー

あなたが複素数のどのあたりを習っているかによって，証明の仕方が幾分違ってくると思います。私が紹介するのは，複素数を習いたての方向けの証明です。

［証明］
α=ａ+bi,β=c+di（a,b,c,dは実数）とする。
αβ=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i
|αβ|=√(ac-bd)2乗+(ad+bc)2乗
=√a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=√(a2+b2)(c2+d2)
=|α||β|

文字の入力の仕方が下手くそですみません。補足します。ルートの記号は，後に続く文字式すべてにかかっています（三つとも）。文字の後の「2」という数字はいずれも，２乗の意味です。今一度，ご自分で式を書き直して証明してくだされば，ご理解いただけることと思います。
以上です。

回答No.6

oshiete_goo

本質的にはN0.1 kony0氏の回答で尽きているのですが，
蛇足をかえりみず，補足です．

2つの複素数を置くときに
＞α = a+bi, β=c+di とする。
というところで "（a,b,c,d は実数）"と断っておかないと，この手の"あたりまえ"の証明問題ではとがめられることがありますので，ご注意ください．

回答No.5

juni602

下の回答，問題を読み間違えました．すいません．

回答No.4

juni602

α＞0，β＞0のとき，右辺＝（α）（β）＝αβ　α＞0，β＞0より
αβ＝IαβI
α＜0，β＜0のとき，右辺＝（－α）（－β）＝αβ　α＜0，β＜0より
αβ＝IαβI
α＞0，β＜0のとき，右辺＝（α）（－β）＝－αβ　α＞0，β＜0より
－αβ＝IαβI
同様にα＜0，β＞0の時，右辺＝IαβI
α＝0もしくはβ＝0の時，左辺＝0　右辺＝0で成立．

これじゃあ，だめでしょうか？

回答No.3

totoroaki

ここに出てくるｒの後やθの後の数字は小文字です。
絶対値は【】で表すとします。
では回答に入ります。

（証明）

αの絶対値をr1、偏角をθ1
βの絶対値をr2、偏角をθ2
とすると
α=ｒ1（cosθ１+isinθ1）
β=ｒ2（cosθ2+isinθ2）
と表せる

αβ＝ｒ1（cosθ１+isinθ1）・ｒ2（cosθ2+isinθ2）
　＝r1r2（cosθ1cosθ2＋icosθ1sinθ2＋isinθ1cosθ2＋i二乗sinθ1sinθ2）
　＝r1r2{（cosθ1cosθ2－sinθ1sinθ2）＋i（cosθ1sinθ2＋sinθ1cosθ2）}
　＝r1r2{cos（θ1＋θ2）＋sin（θ1＋θ2）}　
だから【αβ】＝r1r2・・・(1)

【α】＝r1、【β】＝r2だから
【α】【β】＝r1r2・・・(2)

(1)(2)より【αβ】＝【α】【β】

証明終わり!!!

何かわからないところがあったら補足してください。
ではでは頑張ってね。

回答No.2

wogota

複素数の絶対値表現は、たいてい直行空間のノルムに相当します。

α=a+bi、β=c+diとでもしておいて、|αβ|-|α||β|の値を計算すると
0となることがわかります。

これで、どうでしょうか？

回答No.1

kony0

ただ馬鹿正直に計算するだけでいいの？
α = a+bi, β=c+di とする。
αβ = (ac-bd) + (ad+bc)i
|αβ| = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2
= (a^2+b^2)(c^2+d^2) = |α||β|（終）

もしくは、α=|α|e^(iΘ), β=|β|e^(iφ)
αβ = |α||β|*e^i(Θ+φ) より明らか。（終）

はて、なにが聞きたかったのかさっぱりわかりません。