画像の証明について質問です

質問

画像の証明1。の4行目あたりで複素数zについての数列の和の絶対値が1/2以下になる理由が分かりません。わかる方回答お願いします。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

適当な正数 L1 をとれば、L1 ≦ |z| なるすべての ｚに対しては、
|a1/z + a2/z^2 + ... + an/z^n| ≦ |a1/z| + |a2/z^2| + ... + |an/z^n| ≦ 1/2.
と必ずできることを言っています。
ここで、「1/2」はこの数でなくても、0<r<1 であれば何でもかまいません。
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max(|a[k]|)=A とおくと、
|a1/z + a2/z^2 + ... + an/z^n| ≦ |a1/z| + |a2/z^2| + ... + |an/z^n|
≦ A*{1/|z| + ... + 1/|z|^n}
= A*{1 - 1/|z|^n}/{|z| - 1}.
ですから、十分大きな |z| に対しこれを 1/2 より小さくすることは常に可能であり、それを上記のように示すことは省略しています。(読者が考えることとして)