絶対収束の証明

質問

Σ（n=0から∞）z^n / n! 　が任意の複素数ｚで絶対収束することの証明が分かりません。
教えてください。お願いします。

回答No.3

adinat · ベストアンサー

一つ目は僕の間違いでした。｜z｜≦N/2を満たすNをとってくれば問題は解決です。

二つ目の｜z｜^n / n! ≦M(1/2)＾(n-N)ですが、
この右辺は｜z｜/1×｜z｜/2×…×｜z｜/nです。
そこで第N項目までの積をまずMとおきました。
残りは｜z｜/(N+1)×…×｜z｜/nですが、これは
最初にNをとるときに考えた条件からすべて1/2以下です。
よってその積は(1/2)＾(n-N)以下になります。
(ちょうどｎ-N個の積をとるからです)

お礼

なるほど・・・・納得！
２回もありがとうございました。

ところで、この証明って思いつくものなの・・・？証明としてはおもしろいんだけどねｗ

回答No.2

adinat

| Σ z^n / n! |≦Σ｜z｜^n / n! だからこの右辺の収束を考えます。｜z｜≦2NをみたすようなNをとってくると、そのNよりnが大きい(n≧N)ならば｜ｚ｜/n≦｜z｜/N≦1/2となります。従ってM＝ ｜z｜^N / N!とおくと、n≧Nならば、
｜z｜^n / n! ≦M(1/2)＾(n-N)=M'(1/2)^n
となります。ただしM'=M(1/2)^(-N)とおきました。このことから
Σ｜z｜^n / n! ＝Σ{n=0～N}｜z｜^n / n! + Σ{n=N+1～∞}｜z｜^n / n!
　　　　　　　　≦C+M'(1/2+1/4+…)=C+M'
ただしC=Σ{n=0～N}｜z｜^n / n!とおきました。
これから左辺は有界な非負の数の和なので収束することがわかります。

お礼

回答ありがとうございます。
２ヶ所ほど分からないんでもう一度お願いします。

１）１行目～２行目
｜z｜≦2N　より　｜ｚ｜/n≦｜z｜/N≦1/2　の部分で、なぜ1/2がでてくるんですか？（｜z｜/N≦2なら分かるんですが・・・）

２）３行目
｜z｜^n / n! ≦M(1/2)＾(n-N)　の部分の変形の仕方が分かりません。（変形の理由？）

頭が悪くてすいません＾＾

回答No.1

siegmund

ダランベールの判定法で一発でしょう．
(第n+1項)/(第n項) = |z|/(n+1) → 0　　(n→∞)

この級数は e^z のテーラー展開に他なりません．

お礼

ダランベールの判定法って便利ですね～（初めて知りましたｗ）
ただ・・・学校では習っていないので、試験では使えないんですよね。（数学の先生がうるさいからｗ）
なので別の方法ってありませんか？
ダランベールには感謝です。

補足

回答ありがとうございます。
ダランベール・・・・？って何？
とりあえず調べてみます＾＾