高校数学III 複素数の問題

質問

『α、βが複素数で、|α|=1のとき、
「z+αz'+β=0をみたす複素数zが存在する」⇔αβ'=β
であることを証明せよ』
（ここではz'をzの共役な複素数と表すことにします）

という問題なのですが、証明の仕方が分かりません。
(1)「左ならば右、逆に右ならば左」…でやればいいのでしょうか？それとも式を同値変形で進めていけますか？
(2)また、いずれの場合でも、どのように証明すればよいのでしょうか？

複素数zが存在する～…といった表現を式でどう表していいものか分かっておりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

概要: z+αz'+β=0 …(i) の辺々複素共役を取ると z' + α'z + β' = 0 …(ii) となります。(i) と (ii) を見ると z,z' を未知変数とした二元連立線形方程式になっています。あとは、連立線形方程式の解(z,z')が存在することの必要十分条件の定石に載って考えれば良いです。特に今回の |α| = 1 の場合には、係数行列Aが退化(det A = 0)になるので、解zは「なし」か「不定」のどちらかになるのでそこに意識すれば良いでしょう。以下、このことを踏まえて証明(の例)を示します。

(1) どちらの方法でも原理的にできるはずだと思いますが、無理に同値変形するよりは ⇒ と ⇐ に分けて行った方が楽だと思います。

(2) (⇒を示す) 式(i)の辺々複素共役を取って更にαをかけると z+αz'+αβ'=0 …(iii)となるので、(i)-(iii) を考えると αβ'=β である□
(⇐を示す) 逆に αβ'=β の時、z=-β/2 は z+αz'+β=0 を満たすので解は存在する■

お礼

とてもよく分かりました！
親切に考え方の概要まで載せていただいたおかげで、理解の支えになりました！

回答ありがとうございます（＞＜）