(－１)×(－１)＝１の証明

質問

こんばんは。

題名の通りなんですけど、
(－１)×(－１)＝１の証明を教えてほしいです。

ちなみに、複素数平面を使って考える証明法は知っています。
その他にあれば知りたいです。

簡単な証明でも、難しい証明でも構いませんので
よろしくお願いします。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

以下で「加法に関する逆元」とは即ち、足したらゼロになる数という意味ね。

【命題】任意の a について、(-1)*a は a の加法に関する逆元である
【証明】(-1)*a + a = {(-1)+1}*a = 0*a = 0

ここで a として (-1)*b を考えると、(-1)*{(-1)*b} は (-1)*b の加法に関する逆元である

最初の命題に戻ると、(-1)*b の加法に関する逆元はすなわち b に他ならない。

即ち {(-1)*(-1)}*b = b、特に b = 1 とすれば (-1)*(-1) = 1

# いろいろはしょったので適当に補完して下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

逆元という定義を知らなかったのですが、
なんとなく分かった気がします。

回答No.6

simakawa

下記参照ください．

　　http://www.faireal.net/articles/7/05/#d30208

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

proto

＃３の回答者さんへ補足です。

群論の最初の方で実数aに対する逆元-aは、普通次のように定義されます。
　a∈Rに対して
　　a+x = 0
　となるようなx∈Rが存在するとき、これをaの逆元といい-aと書く。

この定義で行くと、1の逆元を-1と書くことになりますね。
また-1は
　　1+x = 0
を満たすような実数ということなので、実際に代入すると
　　1+(-1) = 0
ですね。
これはほぼ逆元の定義そのまんまと言うことで、1+(-1)=0はサラッと使っちゃってもんだいないと思います。

また＃３さんがしておられるように、ここから-(-a)=aを導くことも簡単です。
ですが
　　-a = (-1)*a
を導くのには、上の逆元の定義だけでは足りません。
ある数aに1の逆元である-1を掛けることで、aの逆元が得られるということは別の方法で証明しなければなりません。

　　-(-1) = 1
というのと
　　(-1)*(-1)=1
というのはまた別物ですね。

お礼

回答ありがとうございます。

なんだか何が正しいのか分からなくなってきました＾＾；

回答No.4

saburo0

数学の証明とか良く分かりませんが、
前提として、基準より下がるとマイナスになる事は既知のものとし、
今日の気温が０度で、１日経つごとに気温が１度下がる（－１度）とする。

一昨日（－２日）の気温：（－１度）×（－２日）＝（＋２度）
昨日　（－１日）の気温：（－１度）×（－１日）＝（＋１度）★
今日　（　０日）の気温：（－１度）×（　０日）＝（　０度）
明日　（＋１日）の気温：（－１度）×（＋１日）＝（－１度）
明後日（＋２日）の気温：（－１度）×（＋２日）＝（－２度）

お礼

回答ありがとうございます。

数学的な証明が知りたいので・・・

回答No.3

orcus0930

No1,No2の方は、
暗黙の了解として、
(+1)+(-1)=0　を用いていますが、これってあやしくないですか?

減法の考え方からして、
a-a=0 や　(+1)-(+1)=0
は用いていいと思いますが、
（この問いの場合、「×」が定義されていることから、「＋（たす）」や「ー（引く）」は定義されていると考えました）

「－」の記号を「引く」と「マイナス」を混同しないことが重要になると思います

もし、(+1)+(-1)=0を認めるなら、
両辺から(-1)を引いて、（No1のかたは移項を用いられているので、これも可能です）
(+1)+(-1)-(-1)=0-(-1)
(-1)-(-1)は等しい数を引いているので　0　として
-(-1) = (+1)とできてしまうと思うのですが・・・・

-(-1)=(-1)×(-1)として良いのかは疑問が残りますが、
どうでしょうかね

参考までにどうぞ。

お礼

回答ありがとうございます。

やはり相当難しい問題なのですね。

回答No.1

R_Earl

(+1) + (-1) = 0より、

(+1)×{(+1) + (-1)} = 0
分配法則により、括弧を外すと
(+1)^2 + (+1)×(-1) = 0
(+1)^2を計算して
1 + (+1)×(-1) = 0
一番左の項の1を右辺に移項すると
(+1)×(-1) = -1
よって(+1)×(-1) = -1。
(-1)×(+1) = -1も導かれます。

先ほどの(+1) + (-1) = 0と、(+1)×(-1) = (-1)×(+1) = -1を使って
(-1)×(-1)を証明します。

(+1) + (-1) = 0より、
{(+1) + (-1)}^2 = 0
{(+1) + (-1)}{(+1) + (-1)} = 0
分配法則により、括弧を外すと
(+1)^2 + (+1)×(-1) + (-1)×(+1) + (-1)^2 = 0
(-1)^2以外を計算してまとめると
1 - 1 - 1 + (-1)^2 = 0
-1 + (-1)^2 = 0
-1を左辺に移項して
(-1)^2 = 1
よって(-1)^2 = (-1)×(-1) = 1

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、これは"見れば"結構簡単ですね。
でも考えつくのは難しそうです・・