絶対値を含む不等式の証明（２）

質問

お世話さまです。

絶対値を含む不等式の証明にはほんとにお手上げです。
ふつうの不等式の証明はできていたのですが・・・。

次の不等式を証明しなさい。と言う問題で。

|a-b|<=|a|+|b|

私のこたえかた（見よう見まねで全然わかっていないのですが）

|a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0
a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2<=0
0<=0
|a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0
よって|a-b|<=|a|+|b|
等号はa=b=0

絶対、おかしいとは思うのですが、
絶対値の不等式でなにをすればいいのかわかっていません。
上記の問題の解き方と絶対値の不等式の証明はなにをすればいいか
ご教授ください。よろしくお願いします。

回答No.8

hinebot · ベストアンサー

たびたび失礼します。

> =-2pq-2|p||q|
> =-2(pq+|p||q|)>=0・・・・（＊）　
この部分、
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)<=0・・・・（＊）　
の間違いですね。
考え方は大丈夫だと思いますよ。

ただ、失礼ですが、ちょっと解答の書き方も勉強された方がよろしいですね。
ちょっとおこがましいですが、模範的な解答例です。
------------------------------------------------------------------
【問】a,b,cを実数とするとき、不等式|a-b|<=|a-c|+|b-c|を証明しなさい。

【解答その１】（|a-b|<=|a|+|b| が既知でないとします。）
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式：|a-b|<=|a-c|+|b-c|
を証明するには
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
を証明すればよい。（∵(1) は、与式にa-c=p, b-c=q を代入したもの）
(|p|+|q|)^2 - |p-q|^2
=|p|^2+2|p||q|+|q|^2 -(p-q)^2
=p^2+2|pq|+q^2 -(p^2-2pq+q^2) = 2(|pq|+pq) >= 0 (∵|pq|>=pq)
∴|p-q|^2 <= (|p|+|q|)^2
よって、|p-q|>=0, |p|+|q|>=0 なので　(1)も成り立つ。
従って、与式：|a-b|<=|a-c|+|b-c| も成り立つ。
等号は pq<=0 のとき成り立つ。
pq<=0　すなわち (a-c)(b-c)<=0 のとき
「a-c<=0 かつ b-c>=0」または、「a-c>=0 かつ b-c<=0」
前者の場合　a<=c かつ　b>=c より、 a<=c<=b
後者の場合　a>=c かつ　b<=c より、 b<=c<=a
よって等号成立条件は、a<=c<=b　または、b<=c<=aの関係を満たすとき、である。
<証明終>

【解答その２】（問１で、|a-b|<=|a|+|b| を証明（既知であると）し、本問が問２であったような場合とします。）
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式：|a-b|<=|a-c|+|b-c| は、
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
となる。問１の結果より、(1)は証明されているので
与式：|a-b|<=|a-c|+|b-c|も成り立つ。
（以下、等号成立条件はその１と同じ） <証明終>
------------------------------------------------------------------
ま、こんな感じでしょうか。
あとは、慣れです。

お礼

すばらしい。本当にこんなわかりにくいことを説明してくださって
ありがとうございました。しかもたびたびと。でも、
おかげで８０％以上はわかってきました。数学が好きになれる瞬間です。

回答の書き方、よくなかったですね。自分でもなにを書いていいのか
よくわかっていなかったので、模範的回答見させてもらって、すごく
参考になりました。

２つめの回答も問題集どおりです。おっしゃるとおり、（１）と（２）という
感じでした。解答では、２つ目の解答が乗っていたのでちんぷんかんぷん
でした。でも、１つ目の解答を理解してからだと２つ目の解答も
理解できました。問題集にはこう書いてほしかったと思います。

ただ、いまは私的な事情により数学をがんばらねばいけないので、
また質問させてもらいます。つぎこそ「コーシーシュワルツ」ですかな？

ほかのみなさまへ
ご協力ありがとうございました。
みなさまの回答があったからこそ、絶対値の不等式の証明を理解できました。
今回はポイントできなかった方、ごめんなさい。でも、非常に役立つ
意見でした。

回答No.7

xjr7569

No.2です。

>等号成立は |ab|=ab すなわち　ab<=0 のときです。

と書きましたが、

等号成立は |ab|=-ab すなわち ab<=0 のときです。

の間違いでした。失礼しました。

回答No.6

hinebot

>＞5) a≧0,b≧0 のとき　a＞b ⇔　a^2 = b^2

>のところは、正しくはa＞b ⇔　a^2 > b^2
>と理解しましたが、よろしいでしょうか？

そのとおりです。
番号[ 5)でなく6)です。]と不等号の2箇所タイプミスしてますね。
済みませんでした。

回答No.5

hinebot

#4です。

> |a-b|<=|a-c|+|b-c|
> =-(|a-b|)^2+(|a-c|)~2+(|b-c|)^2
これがそもそも間違ってます。
両辺を2乗して考えるわけですが、元の式の右辺の2乗は（|a-c|+|b-c|)^2です。
（|a-c|+|b-c|)^2 と(|a-c|)~2+(|b-c|)^2　は同じものではありません。

（|a-c|+|b-c|)^2 = (|a-c|)~2+2|a-c||b-c| +(|b-c|)^2
ですからね。
さてこの問題の場合は、うまく置き換えてやることを考えましょう。
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)です。　（これはOKですか？）
すると、
|a-b|<=|a-c|+|b-c|
の証明は
|p-q|<=|p|+|q|
の証明に置き換わるわけです。(*)に気が付くかどうかがポイントですね。

お礼

再回答ありがとうございます。

いくつかのご指摘ありがとうございます。

早速、問題やってみます。
まず|p-q|<=|p|+|q| の証明から。

(p^2-2pq+q^2)<=p^2+2|p||q|+q^2
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)>=0・・・・（＊）　
よって (|p-q|)^2<=(|p|+|q|)^2
ゆえに |p-q|<=|p|+|q|
等号はp=q
ここまではあっていますでしょうか？

今度はｐとｑをもとに戻します。
（＊）から。
=-2((a-c)(b-c))+|a-c||b-c|)>=0・・・・（＊）　
よって (|(a-c)-(b-c)|)^2<=(|a-c|+|a-c|)^2
ゆえに |(a-b)|<=|a-c|+|b-c|
等号はa-c=b-c

ちょっと最後の方、あやふやになってしまいじしんありませんが、
どうでしょうか？また回答頂けると幸いです。

回答No.4

hinebot

絶対値が出てきた場合、まず、以下の5点を押さえてください。（以下において文字はすべて実数です）
(1) |a|≧0
(2) |a| = ±a と表せる
(3) |a|≧a (絶対値を取ると、元の数より等しいか大きくなる）
(4) 2乗すると絶対値を外すことができる。すなわち、
　　|a|^2 = a^2
(5) 絶対値どうしの積は積の絶対値に等しい。すなわち、
　　|a||b| = |ab|
(5) a≧0,b≧0 のとき　a＞b ⇔　a^2 = b^2
※この(1)と(6)を組み合わせたのが、#2さんが書かれている
> |A|^2-|B|^2>=0 ならば |A|>=|B|
です。また、(2)は絶対値の定義そのものとも言えます。

次に、不等式の証明では、大きい方から小さい方を引いて＞０（または≧０）を示すのが普通です。【一部例外がありますが】
また、これから証明するのですから、質問にかかれているように、変形した式それぞれに不等号をつけてはいけません。（#2さんもおっしゃってますよね。）

＞０（または≧０）を示すのによく使われるのは
（実数の2乗）≧０　[これの応用で（2乗の和）≧０]　という性質と
あとは「相加平均≧相乗平均」の関係ですね。
※相加平均≧相乗平均とは、a≧0,b≧0のとき (a+b)/2 ≧√(ab) というやつです。
この2乗の形にするために、よく用いられる手が平方完成です。
x^2+2ax+b = (x+a)^2-a^2+b というヤツです。

これらを押さえておけば、大抵の問題は解けます。
ご質問の問題については、既に#2さんが解き方を示されてますので、私はここで繰り返すことはしないでおきます。
あと、もう一つ等号がついている不等式の証明の場合、必ず、等号成立条件を示さなければなりません。これを忘れると減点になります。

では、頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございます。
いいヒントを頂きました。（１）～（６）までが頭に入っていなかったです。
数学では、証明の時にこの（１）～（６）を書いてくれないので、
数学音痴の私にはつかみづらくいます。

＞5) a≧0,b≧0 のとき　a＞b ⇔　a^2 = b^2

のところは、正しくはa＞b ⇔　a^2 > b^2
と理解しましたが、よろしいでしょうか？

＞この2乗の形にするために、よく用いられる手が平方完成です。

と、

＞等号成立条件を示さなければなりません。これを忘れると減点になります。

了解しました。
またご教授頂けると幸いですm(__)m。

回答No.3

mokonoko

#1で回答した者です。

まず訂正から
> -2(ab+|a||b|)
> と展開されます。これはa=b=0でない限り負ですね。
これはa=0又はb=0(ab=0)でない限り負。でした。

> どのような作業をすればいいのでしょうか？

答え方(かなり我流ですが)
|a-b|^2-(|a|+|b|)^2 ・・・・・※
a^2-2ab+b^2-a^2-2|a||b|-b^2
-2ab-2|a||b|
-2(ab+|a||b|)

ここで(ab+|a||b|)>=0なので(∵ab=<|a||b|)
-2(ab+|a||b|) <=0が言えるので
よって
|a-b|<=|a|+|b|

※この時点で不等号の右辺の項を左辺に移行し、
この式が０以下であることを導く姿勢を見せる

お礼

再回答ありがとうございます。
本当に恐縮です(^^ゞ。

＞ここで(ab+|a||b|)>=0なので(∵ab=<|a||b|)
-2(ab+|a||b|) <=0が言えるので

そうですね。この部分の説明、よくわかりました。正ｘ負は
負（０＞|a-b|）ですよね。

＞辺の項を左辺に移行し、
この式が０以下であることを導く姿勢を見せる

やはり移行でよろしいんですね。わっかりました。

いまは理解しているか試すために新しい問題に取り組んでいます。
Ｎｏ２の方の回答欄に書いたのですが、またお手数でなければ
よろしくお願いします。本当にできが悪くて恐縮です。

回答No.2

xjr7569

絶対値の不等式の証明においては、

|A|^2-|B|^2>=0 ならば |A|>=|B|

という性質がよく使われます。絶対値というのは必ず０以上ですので、２乗して大きければ必ず元の数も大きいという訳です。

これを使うと、

(|a|+|b|)^2-|a-b|^2 = |a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a-b)^2
= a^2+2|ab|+b^2-a^2+2ab-b^2
= 2|ab|+2ab
= 2(|ab|+ab)
　　　　　　　　　 >=0　　
よって (|a|+|b|)^2 >=|a-b|^2
ゆえに |a|+|b|　 >=|a-b|
等号成立は |ab|=ab すなわち　ab<=0 のとき

となります。

あと、不等式や等式を証明する際に、

>|a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0
>a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2<=0
>0<=0

のように、いちいち <=0 や = を付けて書くのはやめるべきです。
（成り立つかどうかわからないうちに付いているので…）
この点も注意してください。

多少おおざっぱですが、以上ご参考になれば。

お礼

回答ありがとうございます。

＞|A|^2-|B|^2>=0 ならば |A|>=|B|
という性質がよく使われます。

この言葉がほしかったです。いいヒントになりました。

＞、いちいち <=0 や = を付けて書くのはやめるべきです。
（成り立つかどうかわからないうちに付いているので…）
この点も注意してください

了解しました。知らず知らずのうちにやっていました。

上記を心えた上で新しい問題にチャレンジしてみたのですが、
手頃な問題がなく、こんな問題を解いているのですが、ひっかかってしまいました。できればご教授ください。

|a-b|<=|a-c|+|b-c|
=-(|a-b|)^2+(|a-c|)~2+(|b-c|)^2
=-(a^2+2ab+b^2)+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2
=-2ab-2ac-2bc+2c^2
ここで因数分解ができないでいます。
因数分解ができればこうつづけるつもりでした。
0<=?(?+?)
よって|a-b|<=|a-c|+|b-c|
は証明された。等号は？？？。

考え方まちがっているでしょうか？お手数でないときに
よければご教授ください。

回答No.1

mokonoko

> a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2<=0

この展開は２項目と５項目でケアレスミスをしてます。
a^2-2ab+b^2-a^2-2|a||b|-b^2
-2ab-2|a||b|
-2(ab+|a||b|)
と展開されます。これはa=b=0でない限り負ですね。

不等式の証明は片方の辺(取りあえず右辺)を０となるように変形して、
左辺だけを展開してそれが正か負かを判断すれば良いだけです。
なまじっか不等号と右辺を残して結論ありきで展開すると「0<=0」という
訳の分からない過程が出てきてしまいます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞０となるように変形して

とは、どのような作業をすればいいのでしょうか？

＞左辺だけを展開してそれが正か負かを判断すれば良いだけです

のところがまだわからないでいます。
正か負かを判断するということですが、これは|A|^2>=0という定理を
使うということでしょうか？

またお手数でないときによろしくお願いします。